(Sở Thanh Hóa 2022) Cho hàm só \(f(x) = {2^x} – {2^{ – x}} + 2022{x^3}\). Biết rằng tồn tại só thực \(m\) sao cho bá́t phương trình \(f\left( {{4^x} – mx + 37m} \right) + f\left( {(x – m – 37) \cdot {2^x}} \right) \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(m\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \((30;50)\).

B. \((10;30)\).

C. \((50;70)\).

D. \(( – 10;10)\).

Lời giải:

Có \(f\prime (x) = {2^x}\ln 2 + {2^{ – x}}\ln 2 + 6066{x^2} > 0,\forall x;f( – x) = {2^{ – x}} – {2^x} – 2022{x^3} = – \left( {{2^x} – {2^{ – x}} + 2022{x^3}} \right) = – f(x)\).

\(f\left( {{4^x} – mx + 37m} \right) + f\left( {(x – m – 37){{.2}^x}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow f\left( {{4^x} – mx + 37m} \right) \ge f\left( { – (x – m – 37){{.2}^x}} \right)\)

\({4^x} – mx + 37m \ge – (x – m – 37){.2^x} \Leftrightarrow {4^x} – m \cdot {2^x} – m(x – 37) + (x – 37){.2^x} \ge 0\)\(\)

\( \Leftrightarrow {2^x}\left( {{2^x} – m} \right) + (x – 37)\left( {{2^x} – m} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {{2^x} – m} \right)\left( {{2^x} + x – 37} \right) \ge 0\)\(\)

ycbt \( \Leftrightarrow g(x) = \left( {{2^x} – m} \right)\left( {{2^x} + x – 37} \right) \ge 0,\forall x\). Do \({2^x} + x – 37 = 0\) có nghiệm \(x = 5\) do đó điều kiện cần là \({2^x} – m = 0\) có nghiệm \(x = 5 \Leftrightarrow m = {2^5} = 32\).

Điều kiện đủ thử lại \(m = 32 \Rightarrow g(x) = \left( {{2^x} – 32} \right)\left( {{2^x} + x – 37} \right) \ge 0,\forall x\) (thoả mãn).