(THPT Phù Cừ – Hưng Yên – 2022) Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình \(\frac{{{{\log }_2}\left( {{x^3}} \right) – \log _2^2(2x) + 13}}{{1 + \sqrt {8 + {{(\sqrt 2 )}^{x – 2}}} }} \ge 0\) là

A. 16.

B. 8.

C. 36.

D. 136.

Lời giải:

Chọn D

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{8 + {{(\sqrt 2 )}^{x – 2}} \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 0} \right.\).

Với điều kiện suy ra bất phương trình: \(\frac{{{{\log }_2}\left( {{x^3}} \right) – \log _2^2(2x) + 13}}{{1 + \sqrt {8 + {{(\sqrt 2 )}^{x – 2}}} }} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 3{\log _2}x – {\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)^2} + 13 \ge 0 \Leftrightarrow – {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + {\log _2}x + 12 \ge 0 \Leftrightarrow – 3 \le {\log _2}x \le 4 \Leftrightarrow \frac{1}{8} \le x \le 16\) (thoả mãn).

Vi \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \{ 1;2;3; \ldots ;16\} \).

Do đó tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là \(1 + 2 + 3 + \ldots + 16 = 136\).