(THPT Nho Quan A – Ninh Bình – 2022) Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho úng với mỗi \(x\) có không quá 255 số nguyên \(y\) thỏa mãn \({\log _5}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _2}(x + y)?\)

A. 1250.

B. 1249.

C. 625.

D. 624.

Lời giải:

Chọn A

Bất phương trình đã cho tương đương \({\log _2}(x + y) – {\log _5}\left( {{x^2} + y} \right) \le 0\) (1)

Xét hàm số \(f(y) = {\log _2}(x + y) – {\log _5}\left( {{x^2} + y} \right)\).

Tập xác định \(D = ( – x; + \infty )\).

Với mọi \(x \in \mathbb{Z}\) ta có \({x^2} \ge x\) nên \(f\prime (y) = \frac{1}{{(x + y)\ln 2}} – \frac{1}{{\left( {{x^2} + y} \right)\ln 5}} \ge 0,\forall x \in D\) \( \Rightarrow f(y)\) đồng biến trên khoảng \(( – x; + \infty )\).

Do \(y\) là số nguyên thuộc \(( – x; + \infty )\) nên \(y = – x + k,k \in {\mathbb{Z}^ + }\).

Giả sử \(y = – x + k\) là nghiệm của bất phương trình (1) thì \(f(y) = f( – x + k) \le 0\).

Mà \( – x + 1 < – x + 2 < \ldots < – x + k\) và \(f(y)\) đồng biến trên khoảng \(( – x; + \infty )\), suy ra \(f( – x + 1) < f( – x + 2) < \ldots < f( – x + k) \le 0\), nên các số nguyên \( – x + 1, – x + 2, \ldots , – x + k\) đều là nghiệm của (1), hay nói cách khác bất phương trình (1) sẽ có \(k\) số nguyên \(y\) thỏa mãn yêu cầu ứng với mỗi \(x\).

Để có không quá 255 số nguyên \(y\) thì \(f( – x + 256) > 0 \Leftrightarrow {\log _2}256 – {\log _5}\left( {{x^2} – x + 256} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} – x – 390369 < 0 \Leftrightarrow \frac{{1 – \sqrt {1561477} }}{2} < x < \frac{{1 + \sqrt {1561477} }}{2}\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên có 1250 số nguyên \(x\) thỏa yêu cầu bài toán.