(Đại học Hồng Đức – 2022) Tổng \(S\) của tất cả các nghiệm thuộc khoảng \((0;4\pi )\) của phương trình \({2022^{{{\sin }^2}x}} – {2022^{{{\cos }^2}x}} = 2\ln (\cot x\)) là

A. \(S = 18\pi \).

B. \(S = 8\pi \).

C. \(S = 7\pi \).

D. \(S = 16\pi \).

Lời giải:.

Điều kiện \(\cot x > 0\). Ta có

\(\begin{array}{l}{2022^{{{\sin }^2}x}} – {2022^{{{\cos }^2}x}} = 2\ln (\cot x) \Leftrightarrow {2022^{{{\sin }^2}x}} – {2022^{{{\cos }^2}x}} = \ln \left( {{{\cos }^2}x} \right) – \ln \left( {{{\sin }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow {2022^{{{\sin }^2}x}} + \ln \left( {{{\sin }^2}x} \right) = {2022^{{{\cos }^2}x}} + \ln \left( {{{\cos }^2}x} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f(t) = {2022^t} + \ln t\) với \(t > 0\)

\(f\prime (t) = {2022^t} \cdot \ln 2022 + \frac{1}{t} > 0,\forall t > 0 \Rightarrow \) hàm số \(f(t)\) đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\).

Khi đó \((1) \Leftrightarrow f\left( {{{\sin }^2}x} \right) = f\left( {{{\cos }^2}x} \right) \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

Do \(\cot x > 0\) nên \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Mà \(x \in (0;4\pi )\) suy ra \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{4};\frac{{5\pi }}{4};\frac{{9\pi }}{4}:\frac{{13\pi }}{4}} \right\}\). Suy ra \(S = 7\pi \).