(Chuyên Vinh– 2022) Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại số thực \(b \ge a\) thỏa mãn \({4^a} = {2^b} + b\) và đoạn \([a;b]\) chứa không quá 5 số nguyên ?

A. 5.

B. 10.

C. 6.

D. 11.

Lời giải:

Chọn D

Do đoạn \([a;b]\) chứa không quá 5 số nguyên nên ta có điều kiện đủ là: \(a \le b < a + 5\). Khi đó ta có:

Phương trình ban đầu tương đương với: \({2^b} + b – {4^a} = 0\).

Xét hàm số \(y = {f_a}(b) = {2^b} + b – {4^a}\) có \({f_a}\prime (b) = {2^b}\ln 2 + 1 > 0,\forall b \in \mathbb{R}\) tức hàm \({f_a}(b)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Kết hợp điều kiện cần ban đầu ta suy ra hàm số \({f_a}(b)\) đồng biến trên \([a;a + 5)\).

Như vậy điều kiện tồn tại nghiệm là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{f_a}(a + 5) > 0}\\{{f_a}(a) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{a + 5}} + a + 5 > {4^a}}\\{{2^a} + a \le {4^a}}\end{array}} \right.} \right.\).

Trường hợp 1: Nếu \(a + 5 < 0 \Leftrightarrow a \le – 6\) thì \({2^{a + 5}} + a + 5 \le 2^\circ – 1 = 0 < 4\) (loại)

Trường hợp 2: Nếu \(a + 5 \ge 0 \Leftrightarrow a \ge – 5\) thì khi đó \({2^{a + 5}} + a + 5 > {4^a} \Leftrightarrow {4^a} < {2^{a + 6}} \Leftrightarrow {2^{2a}} < {2^{a + 6}} \Leftrightarrow a < 6\) Đối chiếu với điều kiện ta suy ra \( – 5 \le a \le 5\).

Đến đây với mọi \(a \in [ – 5;5]\) thì bất phương trình \({2^{a + 5}} + a + 5 > {4^a}\) luôn xảy ra vì \({4^a} \le {2^{a + 5}} \le {2^{a + 5}} + a + 5\) (không có dấu bằng xảy ra).

Xét bất phương trình còn lại: \({2^a} + a \le {4^a}\) ta thấy cũng luôn đúng với mọi \(a \in [ – 5;5]\)

Vậy \(a \in [ – 5;5]\) thì thỏa mãn yêu cầu đề bài tức có 11 giá trị nguyên \(a\).