(Chuyên Hoàng Văn Thụ – Hòa Bình – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f( – 4) = 4\). Đồ thị hàm số \(y = f\prime (x)\) như hình vẽ bên dưới. Để giá trị lớn nhất của hàm số

\(h(x) = f(x) – \frac{{{x^2}}}{2} – x + 3m\) trên đoạn \([ – 4;3]\) không vượt quá 2022 thì tập giác trị của \(m\) là

A. \(( – \infty ;2022]\).

B. \((674; + \infty )\).

C. \(( – \infty ;674]\).

D. \((2022; + \infty )\).

Lời giải:

\(h\prime (x) = f\prime (x) – (x + 1)\)

Trên \(( – 4;1),h\prime (x) < 0\), trên \((1;3),h\prime (x) > 0,h\prime (1) = 0\)

Hàm số \(h(x)\) đạt cực tiểu trên đoạn \([ – 4;3]\) tại \(x = 1\)

\(a = h( – 4) = 3m;b = h(3) = f(3) – \frac{{15}}{2} + 3m\)

Gọi \({S_1} = \int_{ – 4}^1 {\left[ {\left( {x – 1} \right) – f’\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x;{S_2} = \int_1^3 {\left[ {f\left( x \right) – \left( {x – 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} \)

Nhận thấy

\({S_1} > \left. {{S_2} \Rightarrow \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x – f(x)} \right)} \right|_{ – 4}^1 > \left. {\left( {f(x) – \frac{{{x^2}}}{2} – x} \right)} \right|_1^3\) \( \Rightarrow \frac{1}{2} – f(1) – 4 + f( – 4) > f(3) – \frac{{12}}{2} – f(1) \Leftrightarrow f( – 4) > f(3) – \frac{7}{2} \Rightarrow f(3) < \frac{{15}}{2}\)

Vậy, \(b < a,\mathop {\max }\limits_{x \in [ – 4;3]} h(x) = a \Rightarrow 3m \le 2022 \Leftrightarrow m \le 674\)

Vậy, tập giá trị của \(m\), là \(( – \infty ;674]\).