(Chuyên Hạ Long 2022) Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + (m + 2)x + 5}}{{{x^2} + 1}}\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng \(\frac{{25}}{4}\). Tính tổng các phần tử của \(S\)

A. 0.

B. 1

C. \( – 4\)

D. \( – 2\).

Lời giải:

Ta có: \(y = m + \frac{{(m + 2)x + 5 – m}}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow y\prime = \frac{{ – (m + 2){x^2} + 2(m – 5)x + m + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\).

Với \(\forall m \ne – 2\) ta có \(y\prime = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}{x_2} = – 1}\\{{x_1} + {x_2} = \frac{{2(m – 5)}}{{m + 2}}}\end{array}} \right.\).

Mặt khác, đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

\(\Delta :y = \frac{{ – 2(m + 2)x – 4.5.1}}{{ – 4.1}} = \frac{{m + 2}}{2}x + 5\).

Gọi \(A = \Delta \cap Ox \Rightarrow A\left( { – \frac{{10}}{{m + 2}};0} \right)\) và \(B = \Delta \cap Oy \Rightarrow B(0;5)\).

Do đó: \({S_{\Delta O.4B}} = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot OB.OA = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow \frac{5}{2} \cdot \frac{{10}}{{|m + 2|}} = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow |m + 2| = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m = – 6}\end{array}} \right.\).

Do đó \({m_1} + {m_2} = – 4\).