(Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ dưới đây.

Bất phương trình \(f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 3x – m > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0\,;\,2} \right)\) khi và chỉ khi

A. \(m < f\left( 0 \right)\).

B. \(m < f\left( 2 \right) + \frac{{22}}{3}\).

C. \(m \le f\left( 0 \right)\).

D. \(m \le f\left( 2 \right) + \frac{{22}}{3}\).

Lời giải:

Chọn C

Bất phương trình \(f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 3x – m > 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 3x > m\left( 1 \right)\)

Xét \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 3x,\,x \in \left( {0\,;\,2} \right)\) có \(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – {x^2} + 2x + 3\).

Ta thấy trên khoảng \(\left( {0\,;\,2} \right)\) thì \(f’\left( x \right) > – 3\) và \( – {x^2} + 2x + 3 > 3 \Rightarrow g’\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \left( {0\,;\,2} \right)\).

Do đó \(g\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,2} \right)\).

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0\,;\,2} \right)\) khi và chỉ khi \(m \le g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right)\).