(Sở Thái Nguyên 2022) Cho hàm số \(y = \frac{{x – 1}}{{2x – 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến thay đổi của đồ thị \(\left( C \right)\). Khoảng cách từ giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị \(\left( C \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) đạt giá trị lớn nhất bằng

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

B. \(1\).

C. \(\sqrt 2 \).

D. \(\sqrt 5 \).

Lời giải:

Chọn A

Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là \(I\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}} \right)\).

Gọi tọa độ tiếp điểm là \(M\left( {a\,;\,\frac{{a – 1}}{{2a – 1}}} \right),{\rm{ }}a \ne \frac{1}{2}\). Khi đó phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị hàm số tại điểm \(M\) là: \(y = \frac{1}{{{{\left( {2a – 1} \right)}^2}}}\left( {x – a} \right) + \frac{{a – 1}}{{2a – 1}} \Leftrightarrow x – {\left( {2a – 1} \right)^2}y + 2{a^2} – 4a| + 1 = 0\).

Khi đó: \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\frac{1}{2} – \frac{1}{2}{{\left( {2a – 1} \right)}^2} + 2{a^2} – 4a + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( {2a – 1} \right)}^4}} }} = \frac{{\left| { – 2a + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {{\left( {2a – 1} \right)}^4}} }} \le \frac{{\left| {2a – 1} \right|}}{{\sqrt 2 \left| {2a – 1} \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {2a – 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2a – 1 = 1\\2a – 1 = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(\max d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).