(THPT Lê Thánh Tông – HCM-2022) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left[ { – 4;4} \right],\) có các điểm cực trị trên \(\left( { – 4;4} \right)\) là \( – 3; – \frac{4}{3};0;2\) và có đồ thị như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3x} \right) + m\) với \(m\) là tham số. Gọi \({m_1}\) là giá trị của \(m\) để \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = 2022,\) \({m_2}\) là giá trị của \(m\) để \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} g\left( x \right) = 2004.\) Giá trị của \({m_1} – {m_2}\) bằng

A. \(12\).

B. \(13\).

C. \(11\).

D. \(14\).

Lời giải:

Chọn D

⬥ Trước tiên, xét hàm \(y = {x^3} + 3x\), có BBT như sau:

⬥ Có \(g’\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 3} \right)f’\left( {{x^3} + 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} + 3x = – 3\\{x^3} + 3x = – \frac{4}{3}\\{x^3} + 3x = 0\\{x^3} + 3x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1} \in \left[ { – 1;0} \right]\\x = {x_2} \in \left[ { – 1;0} \right]\\x = 0\\x = {x_3} \in \left[ {0;1} \right]\end{array} \right.\)

⬥ Trên \(\left[ {0;1} \right]\), có \(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) + m = 3 + m;\)\(g\left( {{x_3}} \right) = f\left( 2 \right) + m = – 3 + m;\)\(g\left( 1 \right) = f\left( 4 \right) + m = 1 + m\)

Dễ thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = 3 + m = 2022\), suy ra \({m_1} = m = 2022 – 3 = 2019.\)

⬥ Trên \(\left[ { – 1;0} \right]\), có \(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) + m = 3 + m;\)\(g\left( { – 1} \right) = f\left( { – 4} \right) + m = – 1 + m;\)\(g\left( {{x_1}} \right) = f\left( { – 3} \right) + m = 4 + m;\)\(g\left( {{x_2}} \right) = f\left( { – \frac{4}{3}} \right) + m = 2 + m.\)

Dễ thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} g\left( x \right) = – 1 + m = 2004\), suy ra \({m_2} = m = 2004 + 1 = 2005.\)

⬥ Vậy \({m_1} – {m_2} = 2019 – 2005 = 14.\)