(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { – 2021;\,2021} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^5} + 4x} \right| + m} \right)\) có ít nhất 5 điểm cực trị.

A. \(2022\).

B. \(2023\).

C. \(2021\).

D. \(1012\).

Lời giải:

Chọn C

Hàm số \(y = {x^5} + 4x \Rightarrow y’ = 5{x^4} + 4 > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó\(y = {x^5} + x\) là hàm số lẻ và đồng biến trên \(\mathbb{R}\), \({x^5} + 4x > 0 \Leftrightarrow x > 0;\,{x^5} + 4x < 0 \Leftrightarrow x < 0\).

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^5} + 4x} \right| + m} \right)\) là hàm số chẵn, có đồ thị nhận trục \(Oy\) là trục đối xứng.

Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^5} + 4x} \right| + m} \right)\) có ít nhất \(5\) điểm cực trị \( \Leftrightarrow h\left( x \right) = f\left( {{x^5} + 4x + m} \right)\) có ít nhất hai điểm cực trị dương.

Ta có \(h’\left( x \right) = \left( {5{x^4} + 4} \right)f’\left( {{x^5} + 4x + m} \right)\)\( \Rightarrow h’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^5} + 4x + m = 0\\{x^5} + 4x + m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^5} + 4x = – m\\{x^5} + 4x = 2 – m\end{array} \right.\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) tổng số giao điểm có hoành độ dương khác nhau của đồ thị hàm số \(y = {x^5} + 4x\) với hai đường thẳng \(y = – m;\,y = 2 – m\) ít nhất là 2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – m > 0\\2 – m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\).

Do \(m\) nguyên và thuộc đoạn \(\left[ { – 2021;\,2021} \right]\) nên có 2021 giá trị m thỏa mãn đề bài.