Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} – 2|x| + c\) có đồ thị \(\left( C \right)\), gọi hàm số \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc 2 có đồ thị đi qua 3 điểm cực trị của \(\left( C \right)\), \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường \(f\left( x \right),\,g(x)\). \(S\) thuộc khoảng nào sau đây:

A. \(\left( {1,5;\,2} \right)\). B. \(\left( {2,5;\,3} \right)\). C. \(\left( {0;1} \right)\). D. \(\left( {3;4} \right)\). Lời giải: Ta có \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn. Với \(x \ge 0\) ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} – 2x + c\) là:

Lấy đối xứng qua trục tung ta được đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\)là:

Suy ra đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị là: \(A\left( { – 1;c – 1} \right),B(1;c – 1),C\left( {0;c} \right)\) Đồ thị hàm số bậc 2 \(y = g\left( x \right)\) đi qua 3 điểm trên suy ra nó có dạng: \(g\left( x \right) = c + a{x^2}\), thay tọa độ điểm \(B\) vào \(y = g\left( x \right)\) ta được \(a = – 1 \Rightarrow g\left( x \right) = – {x^2} + c\). Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(f\left( x \right),\,g(x)\) là: \(S = 2\int\limits_0^1 {\left[ {g\left( x \right) – f\left( x \right)} \right]} \,dx = 2\int\limits_0^1 {\left[ { – {x^2} + c – \left( {{x^2} – 2x + c} \right)} \right]} \,dx = \frac{2}{3}\), vậy \(S \in \left( {0;1} \right)\).