Cho đồ thị \((C)\) của hàm số \(\;y = {x^4} + a{x^3} + d\,\)có một điểm cực tiểu \(\;A\left( { – \frac{3}{2}; – \frac{{107}}{{16}}} \right)\). Gọi \((P)\) là đồ thị hàm số \(g(x)\) có tọa độ đỉnh \(I\left( { – \frac{1}{4};\frac{9}{8}} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { – 1;0} \right)\). Diện tích phần đồ thị giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \((C)\), \((P)\) bằng:

B. \( – \frac{{72}}{5}\)

C. \(\frac{{62}}{{15}}\).

D. \(\;\frac{{154}}{{15}}\).

Lời giải:

Do hàm số \(\;y = {x^4} + a{x^3} + d\,\)có \(\;y’ = 4{x^4} + 3a{x^2}\)

\(\;y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^4} + 3a{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{{3a}}{4}\)

Mà đồ thị hàm số \((C)\)có một điểm cực tiểu là \(\;A\left( { – \frac{3}{2}; – \frac{{107}}{{16}}} \right)\) nên \(\; – \frac{3}{2} = – \frac{{3a}}{4} \Leftrightarrow a = 2\). Thay tọa độ điểm \(\;A\left( { – \frac{3}{2}; – \frac{{107}}{{16}}} \right)\) vào hàm số ta có \(d = – 5\). Vậy hàm số của đồ thị \((C)\)là:\(y = {x^4} + 2{x^3} – 5\)

Gọi hàm số của \(y = m{x^2} + nx + p\)ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} – \frac{n}{{2m}} = – \frac{1}{4}\\m{\left( {\frac{{ – 1}}{4}} \right)^2} + n\left( {\frac{{ – 1}}{4}} \right) + p = 0\\m.{( – 1)^2} + n( – 1) + p = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = – 2\\n = – 1\\p = 1\end{array} \right.\).

Vậy hàm số của là: \(y = – 2{x^2} – x + 1\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 2\end{array} \right.\)

Vậy diện tích phần đồ thị giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = {x^4} + 2{x^3} – 5\)và \(y = – 2{x^2} – x + 1\) là:

\(\int\limits_{ – 2}^1 {\left| {{x^4} + 2{x^3} – 5 + 2{x^2} + x – 1} \right|dx = } \int\limits_{ – 2}^1 {( – 2{x^2} – x + 1 – {x^4} – 2{x^3} + 5)dx} \)

\( = \int\limits_{ – 2}^1 {( – {x^4} – 2{x^3} – 2{x^2} – x + 6)dx = \frac{{72}}{5}} \).

Chọn đáp án A.