90. Gọi \(V\) là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\sqrt a \) và \(y = \sqrt {a\left( {2 – a} \right)x} ,\;0 < a < 2\), khi quay quanh trục \(Ox\). Giá trị của \(a\) để \(V\)đạt giá trị lớn nhất là

Câu hỏi: 90. Gọi \(V\) là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\sqrt a \) và \(y = \sqrt {a\left( {2 – a} \right)x} ,\;0 < a < 2\), khi quay quanh trục \(Ox\). Giá trị của \(a\) để \(V\)đạt giá trị lớn nhất là

A. \(a = 1\).

B. \(a = \frac{1}{2}\).

C. \(a = \frac{3}{2}\).

D. \(a = \frac{3}{4}\).

Lời giải

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình : \(\sqrt {a\left( {2 – a} \right)x}  = x\sqrt a  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2 – a\end{array} \right.\)

\(V = \pi \int\limits_0^{2 – a} {\left| {a{x^2} – a\left( {2 – a} \right)x} \right|{\rm{d}}x}  =  – \pi \int\limits_0^{2 – a} {\left( {a{x^2} – a\left( {2 – a} \right)x} \right){\rm{d}}x} \).

\(V =  – \pi \left( {\frac{a}{3}{x^3} – a\left( {2 – a} \right)\frac{{{x^2}}}{2}} \right)\mathop |\nolimits_0^{2 – a}  = \frac{\pi }{6}a{\left( {2 – a} \right)^3},\;0 < a < 2\).

Xét hàm số \(f(a) = a{\left( {2 – a} \right)^3},\;0 < a < 2\).

\(f'(a) = {\left( {2 – a} \right)^2}\left( {2 – 4a} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\left( l \right)\\a = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Hàm số có 1 cực trị duy nhất tại \(a = \frac{1}{2}\) và là điểm cực đại. Do đó giá trị lớn nhất của hàm số đạt được tại \(a = \frac{1}{2}\).

Vậy khi \(a = \frac{1}{2}\) thì \(V\) đạt giá trị lớn nhất.

==================== Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân