Cho hình chóp\(S.ABC\)có đáy\(ABC\)là tam giác cân,\(AB = AC = 2a\), góc\(\widehat {BAC} = {120^\circ }\). Tam giác\(SAB\)cân tại\(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc tạo bởi mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)và mặt phẳng đáy\(\left( {ABC} \right)\)bằng\({60^\circ }\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AC\)và\(SB\)

Câu hỏi:

Cho hình chóp\(S.ABC\)có đáy\(ABC\)là tam giác cân,\(AB = AC = 2a\), góc\(\widehat {BAC} = {120^\circ }\). Tam giác\(SAB\)cân tại\(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc tạo bởi mặt phẳng\(\left( {SBC} \right)\)và mặt phẳng đáy\(\left( {ABC} \right)\)bằng\({60^\circ }\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng\(AC\)và\(SB\)

A. \(\frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\).

B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

D. \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

+) Gọi\(H\)là trung điểm của\(AB\), tam giác\(SAB\)cân tại\(S\)nên\(SH \bot AB\).

Ta có\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right)\\SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

+) Dựng hình thoi\(ABDC\).

\(AC\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow \) \(d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {AC,\left( {SBD} \right)} \right)\)\( = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = 2.d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)\).

+)Gọi \(\varphi \) là góc giữa\(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\). Dựng\(HM \bot BC\)tại\(M\)nên\(BC \bot (SHM)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(SBC) \cap (ABC) = BC\\SM \bot BC\\HM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \varphi= \left( {\widehat {SM\,,\,HM}} \right) = \widehat {SMH} = {60^\circ }\)

+) Dựng \(HI \bot BD\) tại \(I\), dựng \(HK \bot SI\)tại\(K\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SHI} \right) \bot \left( {SBD} \right)\\SI = \left( {SHI} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\HK \subset \left( {SHI} \right)\\HK \bot SI\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \Rightarrow HK \bot \left( {SBD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = HK\).

+) Gọi\(E\)là trung điểm cạnh\(BD\)suy ra\(AE \bot BD\).

Ta có \(AO = a\),\(HM = \frac{a}{2}\)và\(AE = a\sqrt 3 \),\(HI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(SH = HM \cdot \tan {60^\circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác\(SHI\)vuông tại cân tại \(H\)có\(HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(d\left( {AC,SB} \right) = 2.d\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right) = 2.HK = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian