Chohình hộp chữ nhật \(ABCD. A’B’C’D’\). Biết khoảng cách giữa\(AB\)và \(B’C\) bằng \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa\(BC\)và\(AB’\)bằng\(\frac{{16{a^3}\sqrt 3 }}{3}\), khoảng cách giữa\(AC\)và\(BD’\)bằng\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Gọi\(16{a^3}\)là trung điểm\(B’C\). Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng\(\left( {BMD} \right)\)và\(\left( {B’AD} \right)\).

Câu hỏi:

Chohình hộp chữ nhật \(ABCD. A’B’C’D’\). Biết khoảng cách giữa\(AB\)và \(B’C\) bằng \(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\), khoảng cách giữa\(BC\)và\(AB’\)bằng\(\frac{{16{a^3}\sqrt 3 }}{3}\), khoảng cách giữa\(AC\)và\(BD’\)bằng\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Gọi\(16{a^3}\)là trung điểm\(B’C\). Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng\(\left( {BMD} \right)\)và\(\left( {B’AD} \right)\).

A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

B. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

D. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

GY:

Cách 1

+) Chọn hệ trục tọa độ\(Oxyz\)như hình vẽ với:\(B\left( {0;0;0} \right)\),\({B^\prime }\left( {0;0;2} \right)\),\(C\left( {1;0;0} \right)\),\(A\left( {0;1;0} \right)\),\(D\left( {1;1;0} \right)\),\(M\)là trung điểm\({B^\prime }C\), suy ra\(M\left( {\frac{1}{2};0;1} \right)\).

+) Ta có\(\overline {{B^\prime }A}= \left( {0;1; – 2} \right)\),\(\overline {{B^\prime }D}= \left( {1;1; – 2} \right)\),\(\left[ {\overrightarrow {B’A},\overrightarrow {B’D} } \right] = \left( {0\,;\, – 2\,;\, – 1} \right)\).

Suy ra mặt phẳngcó một véctơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {0\,;\,2\,;\,1} \right)\).

+) Ta có \(\overrightarrow {BM}= \left( {\frac{1}{2};0;1} \right)\),\(\overrightarrow {BD}= \left( {1;1;0} \right)\),\(\left[ {\overrightarrow {BM},\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { – 1;1;\frac{1}{2}} \right)\).

Suy ra mặt phẳng \(\left( {BMD} \right)\) có một véctơ pháp tuyến là \(\vec n’ = \left( { – 2\,;\,2\,;\,1} \right)\).

Gọi\(\alpha \)là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {BMD} \right)\)và\(\left( {{B^\prime }AD} \right)\), ta có:

\(\cos \alpha= \frac{{|\vec n \cdot \vec n|}}{{|\vec n| \cdot \left| {{{\vec n}^\prime }} \right|}} = \frac{5}{{\sqrt {5.} 3}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)\( \Rightarrow \sin \alpha= \frac{2}{3} \Rightarrow \tan \alpha= \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Cách 2

Gọi\(L,E\)lần lượt là trung điểm\(B{B^\prime },BA\). Dễ thấy\(MLEO\)là hình chữ nhật và\((MLEO)//\left( {{B^\prime }AD} \right)\), suy ra\(\left( {\widehat {\left( {BMD} \right),\left( {{B^\prime }AD} \right)}} \right) = \widehat {\left( {\left( {BMD} \right),\left( {MLEO} \right)} \right)}\).

Gọi\(BH \cap EL = N\), kẻ\(NF//OE\). Vì\(EL//A{B^\prime } \Rightarrow BN \bot EL\), mà\(NF \bot EL\), suy ra\(EL \bot \left( {BNF} \right)\).Từ đó ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(BMD) \cap (MLEO) = MO}\\{NF \bot MO}\\{BF \bot MO}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {BMD} \right),\left( {MLEO} \right)} \right)} = \widehat {BFN}\).

Xét\(\Delta BLE\)vuông tại\(B\)ta có\(\frac{1}{{B{N^2}}} = \frac{1}{{B{L^2}}} + \frac{1}{{B{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow BN = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

Xét\(\Delta BFN\)vuông tại\(N\)ta có\(\tan \widehat {BFN} = \frac{{BN}}{{FN}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}:\frac{a}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Vậy tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng\(\left( {BMD} \right)\)và\(\left( {{B^\prime }AD} \right)\)bằng\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gian