Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình: \(2 + 2\sin 2x – m{\left( {1 + \cos x} \right)^2} = 0\) có nghiệm \(x \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)?

Câu hỏi:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình: \(2 + 2\sin 2x – m{\left( {1 + \cos x} \right)^2} = 0\) có nghiệm \(x \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải

Chọn C

Với \(x \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) suy ra \(\frac{x}{2} \in \left[ { – \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).

Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\), \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\), ta có \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\), \(\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\).

Khi đó phương trình trở thành: \(2{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = m{\left( {1 + \cos x} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} \right)^2} = m{\left( {1 + \frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{{2t + 1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}} \right)^2} = m{\left( {\frac{2}{{1 + {t^2}}}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2t + 1 – {t^2}} \right)^2} = 2m\) (*)

Xét \(f\left( t \right) = {\left( {2t + 1 – {t^2}} \right)^2}\), \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\).

Ta có \(f’\left( t \right) = 2\left( {2t + 1 – {t^2}} \right)\left( {2 – 2t} \right)\).

\(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t + 1 – {t^2}} \right)\left( {2 – 2t} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1;f\left( 1 \right) = 4\\t = 1 – \sqrt 2 ;f\left( {1 – \sqrt 2 } \right) = 0\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

YCBT\( \Leftrightarrow \) phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right)}\limits_{} \le 2m \le \mathop {\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right)}\limits_{} \)\( \Leftrightarrow 0 \le 2m \le 4\)\( \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\)nên có 3 giá trị của \(m\). Chọn

C.

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số