Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + 3}}{{\sin x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{\pi }{2}} \right]\). Khi đó \({M^2} + {m^2}\) là

Câu hỏi:

Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + 3}}{{\sin x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{\pi }{2}} \right]\). Khi đó \({M^2} + {m^2}\) là

A. \(\frac{{11}}{2}\).

B. \(\frac{{31}}{2}\).

C. \(15\).

D. \(\frac{{61}}{4}\).

Lời giải

Chọn D

Đặt \(t = \sin x\). Với \(x \in \left[ {0\,;\,\frac{\pi }{2}} \right]\) thì \(0 \le \sin x \le 1\) hay \(0 \le t \le 1\).

Khi đó \(y = f(t) = \frac{{2t + 3}}{{t + 1}}\), với \(t \in \left[ {0\,;\,1} \right]\).

Ta có \(f'(t) = \frac{{ – 1}}{{{{(t + 1)}^2}}} < 0\), \(\forall t \in \left[ {0\,;\,1} \right]\) nên hàm số \(f(t)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0\,;\,1} \right]\).

Suy ra \(m = \mathop {\min }\limits_{t\, \in \,\left[ {0\,;\,1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = \frac{5}{2}\)và \(M = \mathop {\max }\limits_{t\, \in \,\left[ {0\,;\,1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = 3\).

Vậy \({M^2} + {m^2} = \frac{{61}}{4}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số