Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} – x + m + 1.\) Tìm \(m\) để khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất?

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} – x + m + 1.\) Tìm \(m\) để khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất?

A. \(m = – 1\)\(\)

B. \(m = 1\)

C. \(m = 0\)

D. \(m = 2\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đáp án C

Ta có: \(y’ = {x^2} – 2mx – 1 > 0\,\forall m \in \mathbb{R}.\) Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

Gọi hai điểm cực trị là: \(A\left( {{x_1}, – \frac{2}{3}({m^2} + 1){x_1} + \frac{2}{3}m + 1} \right),B\left( {{x_2}, – \frac{2}{3}({m^2} + 1){x_2} + \frac{2}{3}m + 1} \right).\)

\(AB = \sqrt {{{({x_2} – {x_1})}^2} + {{\left( { – \frac{2}{3}({m^2} + 1)({x_2} – {x_1})} \right)}^2}} \,\,\,\,\,\,\,\, = 2\sqrt {({m^2} + 1)\left( {1 + \frac{4}{9}{{({m^2} + 1)}^2}} \right)} \)

Đặt \(t = {m^2} + 1 \ge 1 \Rightarrow AB = 2\sqrt {\frac{4}{9}{t^3} + t} .\)

Xét hàm số \(g(t) = \frac{4}{9}{t^3} + t\) liên tục trên nửa khoảng \([1; + \infty ).\)\(g'(t) = \frac{4}{3}{t^2} + 1 > 0\forall t \ge 1.\)

Suy ra \(g(t)\) đồng biến trên nửa khoảng \([1; + \infty ).\)Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{[1; + \infty )} g(t) = g(1) = \frac{{13}}{9}.\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{} AB = 2\sqrt {\frac{{13}}{9}} = \frac{{2\sqrt {13} }}{3} \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow m = 0.\)

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Cực trị của hàm số