Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\;\)và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình \(f\left( {{\rm{cos}}x} \right) = \frac{{13}}{3}\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)?

PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\;\)và có bảng biến thiên như sau:

Phương trình \(f\left( {{\rm{cos}}x} \right) = \frac{{13}}{3}\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)?

A. \(0\).

B. \(1\).

C. \(2\)..

D. \(4\).

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Phương pháp truyền thống

Đặt \(t = {\rm{cos}}x\), \(x \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right]\).

Phương trình \(f\left( {{\rm{cos}}x} \right) = \frac{{13}}{3}\) trở thành \(f\left( t \right) = \frac{{13}}{3}\)

Dựa vào bảng biến thiên trên ta có phương trình \(f\left( t \right) = \frac{{13}}{3}\) có đúng một nghiệm \(t \in \left( {0;1} \right]\)

Với một nghiệm \(t \in \left( {0;1} \right]\), thay vào phép đặt ta được phương trình \({\rm{cos}}x = t\) có hai nghiệm phân biệt thuộc thuộc khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Đặt \(u\left( x \right) = \cos x\), \(x \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow u \in \left( {0;1} \right]\)

Ta có \(u’\left( x \right) =  – \sin x;\,\,u’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left( { – \frac{\pi }{2};\,\frac{\pi }{2}} \right)\).

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( u \right)\) trên nửa khoảng \(\left( {0;\,1} \right]\).

Quan sát bảng biến thiên ta thấy phương trình \(f\left( u \right) = \frac{{13}}{3}\) có hai nghiệm phân biệt.

=======