Cắt hình nón đỉnh Sbởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 \). Gọi \(BC\) là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Diện tích tam giác \(SBC\) là

Câu hỏi: Cắt hình nón đỉnh Sbởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 \). Gọi \(BC\) là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Diện tích tam giác \(SBC\) là

A. \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}.\)

B. \(\frac{{{a^2}}}{3}.\)

C. \(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)

D. \(\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi\(\left( O \right)\) là đường tròn đáy có đường kính là \(IJ\), dựng \(OM \bot BC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\)).

Vì \(\Delta SBC\)cân tại \(S\) nên \(BC \bot SM\), từ đó ta có \(\left( {\left( {SBC} \right);\left( O \right)} \right) = \left( {SM,OM} \right) = \widehat {SMO} = 60^\circ \).

Vì tam giác \(SIJ\) vuông cân tại \(S\) nên \(SO = \frac{1}{2}IJ = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow \) \(SM = \frac{{SO}}{{\sin 60^\circ }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Do đó:\(CM = \sqrt {S{C^2} – S{M^2}} = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}SM.BC = \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\).

=======