Đề bài: Cho $x,y\geq 0$ và $x^{3}+y^{3}=2.$Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}\leq 2$

Lời giải

Đề bài:
Cho $x,y\geq 0$ và $x^{3}+y^{3}=2.$Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}\leq 2$
Lời giải

Ta có: $x^{2}+y^{2}\leq 2$
$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+y^{2} \right )^{3}\leq 8=2 \left ( x^{3}+y^{3} \right )^{2}$(vì $ x^{3}+y^{3}=2$)
$\Leftrightarrow x^{6}+3x^{2}y^{2} \left ( x^{2}+y^{2} \right )+y^{6}\leq 2\left ( x^{6}+2x^{3}y^{3} +y^{6} \right )$
$\Leftrightarrow x^{6}+y^{6}-3x^{2}y^{2} \left ( x^{2}+y^{2} \right )+4x^{3}y^{3}\geq 0$
$\Leftrightarrow x^{3}\left ( x^{3}-3xy^{2} +2y^{3} \right )+y^{3}\left ( y^{3}-3yx^{2} +2x^{3} \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow x^{3}[x\left ( x^{2}-y^{2} \right )-2y^{2}\left ( x-y \right )]+y^{3}[2x^{2}\left ( x-y \right )-y\left ( x^{2}-y^{2}\right )]\geq 0$
$\Leftrightarrow x^{3}\left ( x-y \right ) \left ( x^{2}+xy-2y^{2} \right ) +y^{3}\left ( x-y \right ) \left ( 2x^{2}-xy-y^{2} \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow x^{3}\left ( x-y \right )^{2}\left ( x +2y\right ) + y^{3}\left ( x-y \right )^{2}\left ( x +2y\right )\geq 0$
BĐT cuối luôn đúng.Vậy :$ x^{2}+y^{2}\leq 2$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1$.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác