Đề bài: Cho ba số dương $a,b,c$ trong đó $a>c b>c$.Chứng minh rằng : $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq  \sqrt{ab}     (1)  $.Dấu bằng khi nào xảy ra?

Lời giải

Đề bài:
Cho ba số dương $a,b,c$ trong đó $a>c b>c$.Chứng minh rằng : $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq  \sqrt{ab}     (1)  $.Dấu bằng khi nào xảy ra?
Lời giải

Xét $\overrightarrow {u}=(\sqrt{c};\sqrt{b-c}  ) ;\overrightarrow {v}=(\sqrt{a-c};\sqrt{c}  ) $
$\Rightarrow  \begin{cases}\overrightarrow {u}.\overrightarrow {v}=\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}     \\ |\overrightarrow {u} |.|\overrightarrow {v} |=\sqrt{c+b-c}.\sqrt{a-c+c}=\sqrt{b}.\sqrt{a}=\sqrt{ab}       \end{cases} $
Mà ta có : $\overrightarrow {u}.\overrightarrow {v}\leq  |\overrightarrow {u} |.|\overrightarrow {v} |\Rightarrow  \sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \leq  \sqrt{ab}    (1)$
Vì $a,b,c>0$ do đó dấu bằng xảy ra trong $(1)$
$\Leftrightarrow  \overrightarrow {u} , \overrightarrow {v} $ cùng chiều $\Leftrightarrow  \overrightarrow {u}=k\overrightarrow {v}  $ (với $k>0$)
$\Leftrightarrow  \begin{cases}\sqrt{c} =k\sqrt{a-c}  \\ \sqrt{b-c} =k\sqrt{c}  \end{cases} \Leftrightarrow  \frac{\sqrt{c} }{\sqrt{a-c} } =\frac{\sqrt{b-c} }{\sqrt{c} } \Leftrightarrow  c=\sqrt{a-c}.\sqrt{b-c}  $
$\Leftrightarrow  c^2=(a-c)(b-c)\Leftrightarrow  c^2=ab-ac-cb+c^2\Leftrightarrow  ab=c(a+b)$
$\Leftrightarrow  \frac{1}{c} =\frac{1}{a} +\frac{1}{b} $ (chia hai vế cho $a,b,c$)

Cách $2:$ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 bộ số $(\sqrt{c};\sqrt{b-c})$ và $(\sqrt{a-c};\sqrt{c})$ ta có:
$VT=\sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}.\sqrt{c}\leq \sqrt{(c+b-c).(a-c+c)}=\sqrt{ab}$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$\Leftrightarrow  \frac{\sqrt{c} }{\sqrt{a-c} } =\frac{\sqrt{b-c} }{\sqrt{c} } \Leftrightarrow  c=\sqrt{a-c}.\sqrt{b-c}  $
$\Leftrightarrow  c^2=(a-c)(b-c)\Leftrightarrow  c^2=ab-ac-cb+c^2\Leftrightarrow  ab=c(a+b)$
$\Leftrightarrow  \frac{1}{c} =\frac{1}{a} +\frac{1}{b} $ (chia hai vế cho $a,b,c$)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác