Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{18+3x-x^2}$ với $-3\leq x\leq 6$.

Lời giải

Đề bài:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{18+3x-x^2}$ với $-3\leq x\leq 6$.
Lời giải

Ta có: $18+3x-x^2=(3+x)(6-x)$
Điều kiện:
$\begin{cases}x+3 \geq 0 \\ 6-x \geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow -3 \leq x \leq 6 $
Đặt $t=\sqrt{3+x}+ \sqrt{6-x}  $ có:
$t^2=(\sqrt{3+x}+ \sqrt{6-x})^2$
$     =9+2 \sqrt{(3+x)(6-x)}\geq 9 $ $\Rightarrow t \geq 3$      
$t^2=(\sqrt{3+x}+ \sqrt{6-x})^2 \leq (1+1)(3+x+6-x)=18$
$\Rightarrow t \leq 3 \sqrt{2} $
Vậy ta có: $3 \leq t \leq 3 \sqrt{2} $
Bài toán trở thành tìm max, min của hàm số sau:
$g(t)= t- \frac{t^2-9}{2} = -\frac{1}{2}t^2+t+ \frac{9}{2}  $ trên $ [3; 3 \sqrt{2} ]$
$g'(t)=-t+1$
$g'(t)=0 \Leftrightarrow t=1$
BBT:

$\Rightarrow \min g =3 \sqrt{2}- \frac{9}{2}  $ khi $t=3 \sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{3+x}=\sqrt{6-x} \Leftrightarrow x=\frac{3}{2}   $
$\max g = 3 \Leftrightarrow t=3 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x=-3 \\ x=6 \end{gathered}  \right. $

=========
Chuyên mục: Ứng dụng hàm số để chứng minh Bất đẳng thức