Đề bài: Với $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq 1$ chứng minh rằng:     $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq 9$.

Lời giải

Đề bài:
Với $a,b,c>0$ và $a+b+c\leq 1$ chứng minh rằng:     $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq 9$.
Lời giải

Nhận xét rằng: $(a^2+2bc)+(b^2+2ac)+(c^2+2ab)=(a+b+c)^2\leq 1$
Từ đó suy ra:
    $
\displaystyle VT\geq [(a^2+2bc)+(b^2+2ac)+(c^2+2ab)](\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab})$
          $
\displaystyle \geq 3\sqrt[3]{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}.3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2+2bc}.\frac{1}{b^2+2ac}.\frac{1}{c^2+2ab}} =9$
Đẳng thức xảy ra khi : $
\displaystyle \begin{cases}a+b+c=1 \\ a^2+2bc=b^2+2ac=c^2+2ab \end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$.

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi