Đề bài: Cho \(a>0, b>0\). Chứng minh rằng: \((1+\frac{a}{b})^{m}+(1+\frac{b}{a})^{m}\geq 2^{m+1}\) với \(m\in Z^+\).

Lời giải

Đề bài:
Cho \(a>0, b>0\). Chứng minh rằng: \((1+\frac{a}{b})^{m}+(1+\frac{b}{a})^{m}\geq 2^{m+1}\) với \(m\in Z^+\).
Lời giải

Theo BĐT Cauchy, ta có:
\((1+\frac{a}{b})^{m}+(1+\frac{b}{a})^{m}\geq 2\sqrt{(1+\frac{a}{b})^{m}(1+\frac{ab}{a})^{m}}=2\sqrt{(2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b})^{m}}\)
Vậy \((1+\frac{a}{b})^{m}+(1+\frac{b}{a})^{m}\geq 2^{m+1}\).

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi