Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:  \(f(x,y)=(1-x)\sqrt{(x-y+1)(x+y)}        ; ( -x\leq y\leq x+1)\)

Lời giải

Đề bài:
Tìm giá trị lớn nhất của:  \(f(x,y)=(1-x)\sqrt{(x-y+1)(x+y)}        ; ( -x\leq y\leq x+1)\)
Lời giải

_Nếu \(x\geq 1\) thì \(f(x,y)\leq 0 \Rightarrow f(x,y)\) lớn nhất là \(0\).(1)
Khi \(x=-y\) hoặc \(x+1=y; x>1\)
_Mặt khác do: \(-x\leq y\leq x+1 \Rightarrow x+1\geq –x \Leftrightarrow x>-\frac{1}{2}\)
Vậy nếu \(-\frac{1}{2}\(f(x,y)=(1-x)\sqrt{(x-y+1)(x+y)}\leq (1-x)\frac{1}{2}(x-y+1+x+y)\)
\(=(1-x)(x+\frac{1}{2})\leq \frac{1}{4}(1-x+x+\frac{1}{2})^{2}=\frac{9}{16}\). (2)
Dấu = xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} 1-x=x+\frac{1}{2}\\ x-y+1=x+y \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{4}\\ y= \frac{1}{2}\end{array} \right.$
Từ (1) và (2) suy ra $ Max f(x,y)= \frac{9}{16}.$

Vậy GTLN của \(f(x,y)\) là \(\frac{9}{16}\), đạt được khi \(x=\frac{1}{4}\) và \(y=\frac{1}{2}\).

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức Côsi