Đề bài: Cho 2 số $a$ và $b$ thỏa điều kiện $ab > 1$. Chứng minh rằng: $ \frac{1}{1 + a^2 }+ \frac{1}{1 + b^2} \ge \frac{2}{1 + ab} $ 

Lời giải

Ta có:
  $ \begin{array}{l}
\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} – \frac{2}{{1 + ab}} = \left( {\frac{1}{{1 + {a^2}}} – \frac{1}{{1 + ab}}} \right) + \left( {\frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + ab}}} \right)\\
= \frac{{b – a}}{{1 + ab}}\left( {\frac{a}{{1 + {a^2}}} – \frac{b}{{1 + {b^2}}}} \right) = \frac{{{{\left( {b – a} \right)}^2}\left( {ab – 1} \right)}}{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + ab} \right)}} \ge 0
\end{array}   \Rightarrow  $  đpcm.
Dấu “=” xẩy ra  $  \Leftrightarrow a = b $

=========
Chuyên mục: Bất đẳng thức cơ bản