Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thuộc đoạn\(\left[ {0;\frac{{9\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(f\left( {f\left( {\cos x} \right)} \right) = 2\) là

A. \(3\).

B. \(5\).

C. \(7\).

D. \(9\).

GY:

Từ bảng biến thiên ta suy ra: \(f\left( {f\left( {\cos x} \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {\cos x} \right) = – 1\\f\left( {\cos x} \right) = 1\end{array} \right.\)

TH1: \(f\left( {\cos x} \right) = – 1\)

Đặt \(t = \cos x\), \(t \in \left[ { – 1\,;1} \right]\)

Khi đó phương trình \(f\left( {\cos x} \right) = – 1\) trở thành \(f\left( t \right) = – 1\), với \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\).

Đây là phương trình có hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\)và đường thẳng \(y = – 1\). Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(f\left( t \right) = – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = a < – 1\\t = b > 1\end{array} \right. \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm.

TH2: \(f\left( {\cos x} \right) = 1\)

Tương tự TH1: Đặt \(t = \cos x\), \(t \in \left[ { – 1;1} \right]\)

\(f\left( t \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = m \in \left( { – \infty ; – 1} \right) \left( {\rm{L}} \right)\\t = n \in \left( { – 1;0} \right)\\t = p \in \left( {0;1} \right)\\t = q \in \left( {1; + \infty } \right) \left( {\rm{L}} \right)\end{array} \right.\)

+ Với \(t = n \in \left( { – 1\,;0} \right)\)

Ứng với mỗi giá trị \(t \in \left( { – 1\,;0} \right)\)thì phương trình \(\cos x = t\)có \(4\)nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\frac{{9\pi }}{2}} \right]\)

+ Với \(t = p \in \left( {0\,;\,1} \right)\)

Ứng với mỗi giá trị \(t \in \left( {0\,;\,1} \right)\) thì phương trình \(\cos x = t\)có \(5\) nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {0\,;\,\frac{{9\pi }}{2}} \right]\).

Hiển nhiên, \(9\) nghiệm trong những trường hợp trên đều khác nhau.

Vậy phương trình đã cho có \(9\) nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0\,;\,\frac{{9\pi }}{2}} \right]\).

=======