Đề bài: Với những giá trị nào của $a$ và đối với mọi b, hãy tìm một số c sao cho hệ sau có dù chỉ một nghiệm:  $ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + by = a{c^2} + c\\bx + 2y = c – 1\end{array} \right.\end{array} $

Lời giải

Ta có:
$ \begin{array}{l}
D = 4 – {b^2};Dx = 2\left( {a{c^2} + c} \right) – b\left( {c – 1} \right) = 2a{c^2} + c – bc + b\\
Dy = 2\left( {c – 1} \right) – b\left( {a{c^2} + c} \right) = ac – 2 – ab{c^2} – bc
\end{array} $
– Nếu  $ 4 – {b^2} \ne 0 \Leftrightarrow b \ne 2 \wedge b \ne  – 2 \Leftrightarrow D \ne 0 $
Hệ có nghiệm duy nhất  $ \forall a,\forall c:  \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{2a{c^2} + 2c – bc + b}}{{4 – {b^2}}}\\
y = \frac{{2c – 2 – ab{c^2} – bc}}{{4 – {b^2}}}
\end{array} \right. $
– Nếu b = 2:
Hệ (1) trở thành:  $ \left\{ \begin{array}{l}
2x + 2y = a{c^2} + c\\
2x + 2y = c – 1
\end{array} \right. $
Để hệ có nghiệm thì ta phải có:  $ \begin{array}{l}
a{c^2} + c = c – 1
 \Leftrightarrow a{c^2} =  – 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)
\end{array} $
Từ (*) ta suy ra : c tồn tại  $  \Leftrightarrow  $ a –    Nếu b = -2
Hệ (1) trở thành:  $ \left\{ \begin{array}{l}
2x – 2y = a{c^2} + c\\
 – 2x + 2y = c – 1
\end{array} \right. $
Để hệ có nghiệm thì ta phải có:  $ \begin{array}{l}
a{c^2} + c =  – \left( {c – 1} \right) =  – c + 1
 \Leftrightarrow a{c^2} + 2c – 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(**)
\end{array} $
Từ (**) ta suy ra: c tồn tại  $  \Leftrightarrow 1 + a \ge 0 \Leftrightarrow a \ge  – 1 $
Vậy khi  $  – 1 \le a \le 0 $  thì luôn luôn tồn tại c sao cho  $ \forall b $ , hệ đã cho luôn có nghiệm.

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình chứa tham số