Cho 2 số thực \(x,y\) không âm thỏa mãn: \({2^{x + \frac{1}{x}}} = {\log _2}\left[ {14 – (y – 2)\sqrt {y + 1} } \right]\). Giá trị của biểu thức \(P = \left| {1 – 2(x + y)} \right|\) bằng

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Cho 2 số thực \(x,y\) không âm thỏa mãn: \({2^{x + \frac{1}{x}}} = {\log _2}\left[ {14 – (y – 2)\sqrt {y + 1} } \right]\). Giá trị của biểu thức \(P = \left| {1 – 2(x + y)} \right|\) bằng

A. \(3\). 

B. \(5\). 

C. \(1\). 

D. \(2\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

-Tự luận:

Áp dụng bất đẳng thức AM-AG ta có: \({2^{x + \frac{1}{x}}} \ge {2^{2\sqrt {x.\frac{1}{x}} }} = 4,\forall x > 0{\rm{ }}(1)\)

Mặt khác ta có: \(14 – (y – 2)\sqrt {y + 1}  = 14 – (y + 1)\sqrt {y + 1}  + 3\sqrt {y + 1} \).

Đặt \(t = \sqrt {y + 1}  \ge 1\).

Xét hàm: \(f(t) =  – {t^3} + 3t + 1`4,t \ge 1.\)

\(f'(t) =  – 3{t^2} + 3;f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)

Bảng biến thiên như sau:

\( \Rightarrow f(t) \le 16\)

\( \Rightarrow {\log _2}\left[ {14 – (y – 2)\sqrt {y + 1} } \right] \le {\log _2}16 = 4{\rm{ }}(2)\)

Từvàta có dấu bằng xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{x}\\t = \sqrt {1 + y}  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\)

Vậy: \(P = \left| {1 – 2(x + y)} \right| = 1.\)

-Tư duy + C. asio:

–Áp dụng bất đẳng thức AM-AG ta có: \({2^{x + \frac{1}{x}}} \ge {2^{2\sqrt {x.\frac{1}{x}} }} = 4,\forall x > 0 \Leftrightarrow x = 1\).

-Ta lại có: \({\log _2}\left[ {14 – (y – 2)\sqrt {y + 1} } \right] = 4 \Leftrightarrow y = 0\)

Vậy: \(P = \left| {1 – 2(x + y)} \right| = 1.\)

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========