Cho hai số thực \(x,{\rm{ }}y\) thoả mãn: \(9{x^3} + \left( {2 – y\sqrt {3xy – 5} } \right)x + \sqrt {3xy – 5}  = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^3} + {y^3} + 6xy + 3\left( {3{x^2} + 1} \right)\left( {x + y – 2} \right)\)

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Cho hai số thực \(x,{\rm{ }}y\) thoả mãn: \(9{x^3} + \left( {2 – y\sqrt {3xy – 5} } \right)x + \sqrt {3xy – 5}  = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^3} + {y^3} + 6xy + 3\left( {3{x^2} + 1} \right)\left( {x + y – 2} \right)\)

A. \(\frac{{4\sqrt 6  + 36}}{9}\). 

B. \(\frac{{36 + 296\sqrt {15} }}{9}\). 

C. \(\frac{{36 – 296\sqrt {15} }}{9}\). 

D. \(\frac{{ – 4\sqrt 6  + 36}}{9}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tự luận:

Ta có: \(9{x^3} + \left( {2 – y\sqrt {3xy – 5} } \right)x + \sqrt {3xy – 5}  = 0\)

\( \Leftrightarrow 27{x^3} + 6x – 3xy\sqrt {3xy – 5}  + 3\sqrt {3xy – 5}  = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3x} \right)^3} + 2\left( {3x} \right) = {\left( {\sqrt {3xy – 5} } \right)^3} + 2\sqrt {3xy – 5} \) 

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {t^3} + 2t\) có \(f’\left( t \right) = 3{t^2} + 2 > 0{\rm{ }}\forall t \in \mathbb{R}\) nên \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó\( \Leftrightarrow f\left( {3x} \right) = f\left( {\sqrt {3xy – 5} } \right) \Leftrightarrow 3x = \sqrt {3xy – 5}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\9{x^2} = 3xy – 5\end{array} \right.\)

Với \(x = 0\) không thoả mãn.

Với \(x > 0\) thì 

\(\begin{array}{c}P = {x^3} + {y^3} + 6xy + 3\left( {3{x^2} + 1} \right)\left( {x + y – 2} \right) = {x^3} + {y^3} + 6xy + \left( {9{x^2} + 3} \right)\left( {x + y – 2} \right)\\ = {x^3} + {y^3} + 6xy + \left( {3xy – 2} \right)\left( {x + y – 2} \right) = {x^3} + {y^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} – 2\left( {x + y} \right) + 4\\ = {\left( {x + y} \right)^3} – 2\left( {x + y} \right) + 4\end{array}\)

Mà \(x + y = x + \frac{{9{x^2} + 5}}{{3x}} = 4x + \frac{5}{{3x}} \ge \frac{{4\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}\). Đặt \(t = x + y\) thì \(t \ge \frac{{4\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^3} – 2t + 4\) với \(t \ge \frac{{4\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}\). Khi đó \(g’\left( t \right) = 3{t^2} – 2 > 0{\rm{  }}\forall t \ge \frac{{4\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}\).

Do đó \(g\left( t \right) \ge g\left( {\frac{{4\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{36 + 296\sqrt {15} }}{9}\).

Vậy \(\min P = \frac{{36 + 296\sqrt {15} }}{9}\).

Tư duy + Casio + Mẹo:

Bước 1: Phân tích đáp án và dữ kiện đề bài 

A. \(\frac{{4\sqrt 6  + 36}}{9} \approx 5.09\)

B. \(\frac{{36 + 296\sqrt {15} }}{9} \approx 131.4\)

C. \(\frac{{36 – 296\sqrt {15} }}{9} \approx  – 123.4\)

D. \(\frac{{ – 4\sqrt 6  + 36}}{9} \approx 2.91\)

Bước 2: Phân tích đang cần gì và làm gì

+ Ta có: \(9{x^3} + \left( {2 – y\sqrt {3xy – 5} } \right)x + \sqrt {3xy – 5}  = 0\). Cho \(x\) giải tìm \(y\)

\(x = 0 \to y = \emptyset \)

\(x = 0.4 \to y = \frac{{161}}{{30}}\)

\(x = 0.5 \to y = \frac{{29}}{6}\)

\(x = 0.6 \to y = \frac{{206}}{{45}}\)

\(x = 1 \to y = \frac{{14}}{3}\)

Thay lần lượt \(x,y\) vào \(P = {x^3} + {y^3} + 6xy + 3\left( {3{x^2} + 1} \right)(x + y – 2)\) để kiểm tra kết quả

\(\emptyset \)

\( \approx 184.23\)

\( \approx 145.04\)

\( \approx 132.46\)

\( \approx 184.23\)

Như vậy chọn đáp án B 

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========