Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 0\\2{x^2} – x + 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 0\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( {3\cos x – 2} \right)} \sin x{\rm{d}}x\).

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 0\\2{x^2} – x + 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 0\end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( {3\cos x – 2} \right)} \sin x{\rm{d}}x\).

A.\(\frac{{33}}{2}\).

B. \(\frac{{15}}{{23}}\).

C. 12.

D. \(\frac{{19}}{{24}}\).

GY::

Xét \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( {3\cos x – 2} \right)\sin x{\rm{d}}x} \)

Đặt \(3\cos x – 2 = t\)\( \Rightarrow \)\( – 3\sin x{\rm{d}}x = {\rm{d}}t \Rightarrow \sin x{\rm{d}}x =  – \frac{1}{3}{\rm{d}}t\)

Với \(x = 0\)\( \Rightarrow \)\(t = 1\)

\(x = \frac{\pi }{3}\)\( \Rightarrow \)\(t =  – \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \)\(I = \frac{1}{3}\int\limits_{ – \frac{1}{2}}^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = \frac{1}{3}\int\limits_{ – \frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \frac{1}{3}\int\limits_{ – \frac{1}{2}}^0 {f(x){\rm{d}}x}  + \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f(x){\rm{d}}x} \)

\( = \frac{1}{3}\int\limits_{ – \frac{1}{2}}^0 {\left( {2{x^2} – x + 1} \right){\rm{d}}x}  + \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {\left( {2{x^2} + 1} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{19}}{{24}}.\)