7: Khi cho hình lục giác đều \(ABCDEF\) có cạnh bằng \(a\) quay quanh một cạnh \(AB\) thì thể tích khối tròn xoay thu được có giá trị tương ứng bằng bao nhiêu ?

DẠNG TOÁN 44 KHỐI TRÒN XOAY BÀI TOÁN THỰC TẾ – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
7: Khi cho hình lục giác đều \(ABCDEF\) có cạnh bằng \(a\) quay quanh một cạnh \(AB\) thì thể tích khối tròn xoay thu được có giá trị tương ứng bằng bao nhiêu ?

A. \(\frac{{15\pi {a^3}}}{4}\).

B. \(\frac{{9\pi {a^3}}}{2}\).

C. \(6\pi {a^3}\).

D. \(4\pi {a^3}\).

Lời giải

Chọn B

Hình vẽ minh họa:

Khi cho hình phẳng \(ABDE\) quay quanh cạnh \(AB\) thì thu được hình trụ có thể tích là

\({V_1} = \pi {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2}.a = 3\pi {a^3}\).

Thể tích do hai hình phẳng \(AFE\) và \(BCD\) quay quanh \(AB\) bằng nhau và bằng \({V_2}\).

Gọi \({V_3}\) là thể tích tròn xoay khi cho tam giác \(HAE\) quay quanh \(AB\) ; \({V_4}\) là thể tích tròn xoay

khi cho tam giác \(HFK\) quay quanh \(AB\), cũng bằng thể tích tròn xoay khi cho tam giác \(AFK\) quay quanh \(AB\).

Để ý khi cho tam giác \(HFK\) và \(HAE\) quay quanh \(AB\) thì ta thu được hai hình tròn đồng dạng với nhau theo tỷ lệ \(1:2\). Suy ra \({V_3} = 8{V_4}\).

Ta có thể tích hình nón khi cho tam giác \(HAE\) quay quanh \(AB\) có bán kính đáy \(AE = a\sqrt 3 \) và chiều cao \(HA = a\), được tính là \({V_3} = \frac{1}{3}\pi {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2}.a = \pi {a^3} \Rightarrow {V_4} = \frac{{\pi {a^3}}}{8}\).

Suy ra \({V_2} = {V_3} – 2{V_4} = \pi {a^3} – 2.\frac{{\pi {a^3}}}{8} = \frac{{3\pi {a^3}}}{4}\).

Tổng thể tích tròn xoay thu được khi cho hình lục giác đều quay quanh cạnh \(AB\) là :

\(V = {V_1} + 2{V_4} = 3\pi {a^3} + 2.\frac{{3\pi {a^3}}}{4} = \frac{{9\pi {a^3}}}{2}\).