Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho các số \(p,q\) thỏa mãn điều kiện \(p > 1,{\rm{ }}q > 1,{\rm{ }}\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\) và các số dương \(a,b\). Xét hàm số \(y = {x^{p – 1}}{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \({S_1}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x = a\). Gọi \({S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\), trục tung, đường thẳng \(y = b\). Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và hai đường thẳng \(x = a,y = b\). Khi so sánh \({S_1} + {S_2}\) và \(S\)ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây.
A. \(\frac{{{a^p}}}{p} + \frac{{{b^q}}}{q} \le ab\).
B. \(\frac{{{a^{p – 1}}}}{{p – 1}} + \frac{{{b^{q – 1}}}}{{q – 1}} \ge ab\).
C. \(\frac{{{a^{p + 1}}}}{{p + 1}} + \frac{{{b^{q + 1}}}}{{q + 1}} \le ab\).
D. \(\frac{{{a^p}}}{p} + \frac{{{b^q}}}{q} \ge ab\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Ta có \(S < {S_1} + {S_2}\)
\({S_1} = \int_0^a {\left( {{x^{p – 1}}} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( {\frac{{{x^p}}}{p}} \right)} \right|_0^a = \frac{{{a^p}}}{p};{S_2} = \int_0^b {\left( {{y^{\frac{1}{{p – 1}}}}} \right)} {\rm{d}}y = \left. {\left( {\frac{{{y^{\frac{1}{{p – 1}} + 1}}}}{{\frac{1}{{p – 1}} + 1}}} \right)} \right|_0^b = \left. {\left( {\frac{{{y^q}}}{q}} \right)} \right|_0^b = \frac{{{b^q}}}{q}.\)
Vì: \(\frac{1}{{p – 1}} + 1 = \frac{p}{{p – 1}} = \frac{1}{{1 – \frac{1}{p}}} = \frac{1}{{\frac{1}{q}}} = q\)
Vậy \(\frac{{{a^p}}}{p} + \frac{{{b^q}}}{q} \ge ab\).
Để lại phản hồi