Câu hỏi: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số\(f (x)=m^{2}\left(\frac{e^{5 x}}{5}-16 e^{x}\right)+3 m\left(\frac{e^{3 x}}{3}-4 e^{x}\right)-14\left(\frac{e^{2 x}}{2}-2 e^{x}\right)+2020\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) . Tổng của tất cả các phần tử thuộc S bằng:
A. \(-\frac{7}{8}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \( -2\)
D. \(-\frac{3}{8}\)
=========
Đặt \(t=e^{x} ; t>0\)
Bài toán trở thành tìm m để hàm số \(f (t)=m^{2}\left(\frac{t^{5}}{5}-16 t\right)+3 m\left(\frac{t^{3}}{3}-4 t\right)-14\left(\frac{t^{2}}{2}-2 t\right)+2020\) đồng biến trên \((0 ;+\infty)\)
Ta có: \(f^{\prime}( t)=m^{2} (t^{4}-16)+3 m (t^{2}-4)-14( t-2)\)
Khi đó yếu cầu bài toán \(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow m^{2}( t^{4}-16)+3 m (t^{2}-4)-14( t-2) \geq 0 ; \forall t>0 \\
\Leftrightarrow (t-2)\left[m^{2} t^{2}+4 t+2+3 m( t+2)-14\right] \geq 0 ; \forall t>0
\end{array}\)
Điều kiện cần là \(m^{2} (t^{2}+4) (t+2)+3 m( t+2)-14=0\) có nghiệm t=2 thức là:
\(m^{2} (2^{2}+4)(2+2)+3 m( 2+2)-14=0 \Leftrightarrow 32 m^{2}+12 m-14=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
m=\frac{1}{2} \\
m=-\frac{7}{8}
\end{array}\right.\)
Thử lại
Với \(m=\frac{1}{2}\) thì
\(\begin{aligned}
f^{\prime} (t) &=t-2\left[\frac{1}{4}( t^{2}+4)( t+2)+\frac{3}{2} (t+2)-14\right] \\
&=\frac{1}{4}( t-2)( t^{3}+2 t^{2}+10 t-36) \\
&=\frac{1}{4}( t-2^{2})( t^{2}+4 t+18) \geq 0 ; \forall t>0
\end{aligned}\)
nhận \(m=\frac{1}{2}\)
Với \(m=-\frac{7}{8}\) thì:
\(\begin{aligned}
f^{\prime} (t) &=t-2\left[\frac{49}{64}( t^{2}+4)( t+2)-\frac{21}{8} (t+2)-14\right] \\
&=\frac{1}{64}( t-2) ( 49 t^{3}+98 t^{2}+28 t-840) \\
&=\frac{1}{64}( t-2)^{2}( 49 t^{2}+196 t+420) \geq 0 ; \forall t>0
\end{aligned}\)
Nên nhận \(m=-\frac{7}{8}\)
Vậy \(S=\left\{\frac{1}{2} ;-\frac{7}{8}\right\}\). Khi đó tổng các phần tử thuộc S là \(\frac{1}{2}-\frac{7}{8}=-\frac{3}{8}\)
Để lại phản hồi