Đề bài: Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $OAB$, cân tại đỉnh $O,OA=a$ và cạnh đáy $AB=a\sqrt{3} $.Trên các đường thẳng $Ax\bot (P),By\bot (P)$ với $Ax,By$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $(P)$, ta lấy theo thứ tự, hai điểm $M,N$ sao cho $AM=a,BN=\frac{a}{2} $$a.$ Chứng minh tam giác $OMN$ vuông$b.$ Tính góc hợp bởi mặt phẳng $(OMN),(P)$

Lời giải

$a.$ Tính $OM,ON,MN$ theo $a$ và áp dụng định lí Pitago đảo.
$b.$ Ta tính diện tích các tam giác $OAB,OMN$
$S_{OAB}=\frac{a^2\sqrt{3} }{4} $
$S_{OMN}=\frac{a^2\sqrt{10} }{4} $
Tam giác $OAB$ là hình chiếu của tam giác $OMN$ trên mặt phẳng $(P)$ nên nếu gọi góc giữa $(P)$ và $(OMN)$ là $\varphi$ thì :
$\cos\varphi =\frac{\sqrt{30} }{10} \approx  0,5477$
$\varphi \approx  56^0.48’$