Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đánh giá AM-GM

Tích phân hàm ẩn bằng Kỹ thuật đánh giá AM-GM

==============
Vấn đề 12. Kỹ thuật đánh giá AM-GM.
==============

Lời Giải:
Ta có $\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{\mathrm{\,d}x}{f^2(x)}+\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits_0^1 \left[\dfrac{1}{f^2(x)}+\left[f'(x)\right]^2\right]\mathrm{d}x\overset{AM-GM} \geq 2\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x$.
$=2\ln |f(x)|\bigg|_0^1 =2\ln |f(1)|-2\ln |f(0)|=2\ln \left|\dfrac{f(1)}{f(0)}\right|=2\ln \mathrm{e}=2$.
Mà $\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{\mathrm{\,d}x}{f^2(x)}+\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x \leq 2$ nên dấu $”=”$ xảy ra, tức là $f'(x)=\dfrac{1}{f(x)} \Leftrightarrow f(x)f'(x)=1$.
$ \to \displaystyle\int f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int x\mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \dfrac{f^2(x)}{2}=x+C \to f(x)=\sqrt{2x+2C}$.
Theo giả thiết $f(1)=ef(0)$ nên ta có $\sqrt{2+2C}=e\sqrt{2C} \Leftrightarrow 2+2C=\mathrm{e}^22C \Leftrightarrow C=\dfrac{1}{\mathrm{e}^2-1}$.
$ \to f(x)=\sqrt{2x+\dfrac{2}{\mathrm{e}^2-1}} \Rightarrow f(1)=\sqrt{2+\dfrac{2}{\mathrm{e}^2-1}}=\sqrt{\dfrac{2\mathrm{e}^2}{\mathrm{e}^2-1}}$.
==============

Lời Giải:
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho ba số dương ta có\\
$f^3(x)+4\left[f'(x)\right]^3=4\left[f'(x)\right]^3+\dfrac{f^3(x)}{2}+\dfrac{f^3(x)}{2} \geq 3\sqrt[3]{4\left[f'(x)\right]^3 \cdot \dfrac{f^3(x)}{2} \cdot \dfrac{f^3(x)}{2}}=3f'(x)f^2(x)$.
Suy ra $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f^3(x)+4\left[f'(x)\right]^3\right]\mathrm{d}x \geq 3\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)f^2(x)\mathrm{\,d}x$.
Mà $\displaystyle\int\limits_0^1 \left[f^3(x)+4\left[f'(x)\right]^3\right]\mathrm{d}x \leq 3\displaystyle\int\limits_0^1 f'(x)f^2(x)\mathrm{\,d}x$ nên dấu $”=”$ xảy ra, tức là\\
$4\left[f'(x)\right]^3=\dfrac{f^3(x)}{2}=\dfrac{f^3(x)}{2} \Leftrightarrow f'(x)=\dfrac{1}{2}f(x)$.
$ \to \dfrac{f'(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \displaystyle\int\limits \dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits \mathrm{\,d}x \Rightarrow \ln |f(x)|=\dfrac{1}{2}x+C \to f(x)=\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2}x+C}$.
Theo giả thiết $f(0)=1 \Rightarrow C=0 \Rightarrow f(x)=\mathrm{e}^{\tfrac{1}{2}x} \to \displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\mathrm{\,d}x=2\left(\sqrt{\mathrm{e}}-1\right)$.
==============

Lời Giải:
Hàm dưới dấu tích phân là $\sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}=\sqrt{x} \cdot \sqrt{\dfrac{f'(x)}{f(x)}},\,\forall x \in [0; 1]$. Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$, muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$ như sau:\\
$\dfrac{f'(x)}{f(x)}+mx \geq 2\sqrt{m} \cdot \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}$ với $m \geq 0$ và $x \in [0; 1]$.
Do đó ta cần tìm tham số $m \geq 0$ sao cho\\
$\displaystyle\int\limits_0^1 \left[\dfrac{f'(x)}{f(x)}+mx\right]\mathrm{d}x \geq 2\sqrt{m} \cdot \displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x$.
hay\\
$\ln |f(x)|\bigg|_0^1 +m\dfrac{x^2}{2}\bigg|_0^1 \geq 2\sqrt{m} \cdot 1 \Leftrightarrow \ln |f(1)|-\ln |f(0)|+\dfrac{m}{2} \geq 2\sqrt{m} \Leftrightarrow 2-0+\dfrac{m}{2} \geq 2\sqrt{m}$.
Để dấu $”=”$ xảy ra thì ta cần có $2-0+\dfrac{m}{2}=2\sqrt{m} \Leftrightarrow m=4$.
Với $m=4$ thì đẳng thức xảy ra nên $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=4x$.
$ \to \displaystyle\int\limits \dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits 4x\mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \ln |f(x)|=2x^2+C \Rightarrow f(x)=\mathrm{e}^{2x^2+C}$.
Theo giả thiết $\begin{cases}&f(0)=1\\&f(1)=\mathrm{e}^2\end{cases} \Rightarrow C=0 \to f(x)=\mathrm{e}^{2x^2} \to f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\mathrm{e}}$.
Cách 2. Theo Holder\\
$1^2 \leq \left(\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x\right)^2=\left(\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{x} \cdot \sqrt{\dfrac{f'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x\right)^2 \leq \displaystyle\int\limits_0^1 x\mathrm{\,d}x \cdot \displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{\,d}x=\dfrac{1}{2} \cdot \ln \dfrac{f(1)}{f(0)}=1$.
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=kx,$ thay vào $\displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{\dfrac{xf'(x)}{f(x)}}\mathrm{\,d}x=1$ ta được $k=4$.
Suy ra $\dfrac{f'(x)}{f(x)}=4x$. (làm tiếp như trên).
==============

Lời Giải:
Nhận thấy bài này ngược dấu bất đẳng thức với bài trên.
Hàm dưới dấu tích phân là $\left[f(x)f'(x)\right]^2$. Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng $f(x)f'(x)$, muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$ như sau:
$\left[f(x)f'(x)\right]^2+m \geq 2\sqrt{m} \cdot f(x)f'(x)$ với $m \geq 0$.
Do đó ta cần tìm tham số $m \geq 0$ sao cho
$\displaystyle\int\limits_0^1 \left(\left[f(x)f'(x)\right]^2+m\right)\mathrm{d}x \geq 2\sqrt{m}\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x$.
hay
$1+m \geq 2\sqrt{m} \cdot \dfrac{f^2(x)}{2}\bigg|_0^1 \Leftrightarrow 1+m \geq 2\sqrt{m}$.
Để dấu $”=”$ xảy ra thì ta cần có $1+m=2\sqrt{m} \Leftrightarrow m=1$.
Với $m=1$ thì đẳng thức xảy ra nên
$\left[f(x)f'(x)\right]^2=1 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(x)f'(x)=1\\ f(x)f'(x)=-1\end{array} \right.$.

$f(x)f'(x)=-1 \to \displaystyle\int\limits_0^1 f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=-\displaystyle\int\limits_0^1 \mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \dfrac{f^2(x)}{2}\bigg|_0^1 =-x\bigg|_0^1 \Leftrightarrow 1=-1$. (vô lý)
$f(x)f'(x)=1 \to \displaystyle\int\limits f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int\limits \mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \dfrac{f^2(x)}{2}=x+C \to f(x)=\sqrt{2x+2C}$.
Theo giả thiết $\begin{cases}&f(0)=1\\&f(1)=\sqrt{3}\end{cases} \Rightarrow C=\dfrac{1}{2} \to f(x)=\sqrt{2x+1} \to f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{2}$.
Cách 2. Ta có $\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=\dfrac{f^2(x)}{2}\bigg|_0^1 =\dfrac{1}{2}\left[f^2(1)-f^2(0)\right]=1$.
Theo Holder
$1^2=\left(\displaystyle\int\limits_0^1 1 \cdot f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x\right)^2 \leq \displaystyle\int\limits_0^1 1^2\mathrm{\,d}x \cdot \displaystyle\int\limits_0^1 \left[f(x)f'(x)\right]^2\mathrm{\,d}x \leq 1 \cdot 1=1$.
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có $f'(x)f(x)=k,$ thay vào $\displaystyle\int\limits_0^1 f(x)f'(x)\mathrm{\,d}x=1$
ta được $k=1$. Suy ra $f'(x)f(x)=1$.(làm tiếp như trên).
==============

Lời Giải:
Hàm dưới dấu tích phân là $\dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}=\dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{f(x)}$. Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}$, muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$ như sau:\\
$\dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}+mx \geq 2\sqrt{m}\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}$ với $m \geq 0$ và $x \in [1; 2]$.
Do đó ta cần tìm tham số $m \geq 0$ sao cho\\
$\displaystyle\int\limits_1^2 \left(\dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}+mx\right)\mathrm{d}x \geq 2\sqrt{m}\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x$.
hay\\
$24+\dfrac{2m}{3} \geq 4\sqrt{m}\sqrt{f(x)}\bigg|_1^2 \Leftrightarrow 24+\dfrac{2m}{3} \geq 4\sqrt{m}\left[\sqrt{f(2)}-\sqrt{f(1)}\right] \Leftrightarrow 24+\dfrac{2m}{3} \geq 12\sqrt{m} \Leftrightarrow m=16$.
Để dấu $”=”$ xảy ra thì ta cần có $24+\dfrac{2m}{3}=12\sqrt{m} \Leftrightarrow m=16$.
Với $m=16$ thì đẳng thức xảy ra nên $\dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}=16x \Rightarrow \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=2x$.
$ \to \displaystyle\int \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x=\displaystyle\int 2x\mathrm{\,d}x \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=x^2+C \to f(x)=(x^2+C)^2$.
Theo giả thiết $\begin{cases}&f(1)=1\\&f(2)=16\end{cases} \Rightarrow C=0 \to f(x)=x^4 \to f\left(\sqrt{2}\right)=4$.
Cách 2. Ta có $\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x=2 \cdot \displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x=2\sqrt{f(x)}\bigg|_1^2 =2\left[\sqrt{f(2)}-\sqrt{f(1)}\right]=6$.
Theo Holder\\
$6^2=\left(\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x\right)^2=\left(\displaystyle\int\limits_1^1 \sqrt{x} \cdot \dfrac{f'(x)}{\sqrt{xf(x)}}\mathrm{\,d}x\right)^2 \leq \displaystyle\int\limits_1^2 x\mathrm{\,d}x \cdot \displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{\left[f'(x)\right]^2}{xf(x)}\mathrm{\,d}x \leq \dfrac{x^2}{2}\bigg|_1^2 \cdot 24=36$.
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{xf(x)}}=k\sqrt{x} \Leftrightarrow \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}=kx,$ thay vào $\displaystyle\int\limits_1^2 \dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}\mathrm{\,d}x=6$ ta được $k=4$. Suy ra $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}=4x$. (làm tiếp như trên)\\