Đề bài: Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2008 + {{\ln }^2}x}}{x}\) ta được kết quả có dạng \(F\left( x \right) = a\ln x + \frac{{{{(\ln x)}^3}}}{b} + C.\) Tính tổng \(S=a+b.\)

Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\) 

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{2008 + {{\ln }^2}x}}{x}}dx = \int {\left( {2008 + {u^2}} \right)du = 2008\int {du + \int {{u^2}du} } }\)

\(= 2008u + \frac{{{u^3}}}{3} + C = 2008\ln x + \frac{{{{\left( {\ln x} \right)}^3}}}{3} + C\)

Vậy a+b=2011.