Đề bài: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({\log _2}x – {\log _2}\left( {x – 2} \right) = m\) có nghiệm.

Phương trình đã cho tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {\frac{x}{{x – 1}}} \right) = m\\x > 2\end{array} \right.\)

Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {\log _2}f\left( x \right)\) với \(f\left( x \right) = \frac{x}{{x – 2}}\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Có \(f’\left( x \right) =  – \frac{2}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 1\) nên ta có các tập giá trị của các hàm số \(f\left( x \right) \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow {\log _2}f\left( x \right) = \left( {0; + \infty } \right)\)

Vậy để phương trình có nghiệm thì: \(0