Đề bài: Phương trình \(4{x^3} – {2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 2x + 1 – {x^2}\) có bao nhiêu nghiệm dương?

\(\begin{array}{l} 4{x^3} – {2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 2x + 1 – {x^2}\\ \Leftrightarrow {2^{2{x^2}}} – {2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {\left( {x + 1} \right)^2} – 2{x^2}\\ \Leftrightarrow {2^{2{x^2}}} + 2{x^2} = {2^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {\left( {x + 1} \right)^2}\,\left( * \right) \end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\)  trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), ta có f liên tục và \(f’\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t \ge 0\)  

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {2{x^2}} \right) = f\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 = 0\)

Phương trình cuối cùng có \(ac

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm dương.