Đề: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {1;5;0} \right),B\left( {3;3;6} \right)\) và \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{z}{2}.\) Tìm điểm M thuộc d để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = – 1 + 2t\\ y = 1 – t\\ z = 2t \end{array} \right.\) 

M thuộc d nên tọa độ M có dạng: \(M( – 1 + 2a;1 – a;2a)\) 

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2; – 2;6} \right)\), đường thẳng AB đi qua A và nhận \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = (1; – 1;3)\) làm VTCP nên có phương trình:

 \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 5 – t\\ z = 3t \end{array} \right.\)

Gội H là hình chiếu vuông góc của M lên AB.

H thuộc AB nên tọa độ H có dạng \(H\left( {1 + b;5 – b;3b} \right).\) 

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MH} = (b – 2a + 2; – b + a + 4;3b – 2a)\\ \\ \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {MH} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {MH} = 0\\ \\ \Rightarrow 2b – 4a + 4 + 2b – 4a – 8 + 18b – 12a = 0\\ \\ \Leftrightarrow – 8a + 22b – 4 = 0 \Leftrightarrow – 9a + 11b – 2 = 0 \end{array}\)

\(\Rightarrow b = \frac{{9a + 2}}{{11}} \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {\frac{{24 – 13a}}{{11}};\frac{{2a + 42}}{{11}};\frac{{5a + 6}}{{11}}} \right)\)

\(\Rightarrow MH = \frac{1}{{11}}\sqrt {{{\left( {24 – 13a} \right)}^2} + {{\left( {2a + 42} \right)}^2} + {{\left( {5a + 6} \right)}^2}}\)

Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất khi MH ngắn nhất.

Từ tọa độ \(M( – 1 + 2a;1 – a;2a)\) và tọa độ M ở các phương án A, B, C, D ta suy ra A và thay vào (*).

Ta thấy với a=1 thì MH nhỏ nhất.