Các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện

Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện

—————–

Công thức 1: Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt phẳng đáy $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}.$

Câu 1. Cho khối chóp $S.ABC$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ và ${V}’$ là thể tích khối chóp $S.MNP.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}’}}{V}.$

A. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{3}{4}.$

B. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{3}.$

C. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{2}.$

D. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{4}.$

Giải.  Ta có $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{ABC}}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}.$

Chọn đáp án D.

Câu 2. Cho khối chóp $S.ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Gọi ${V}’$ là thể tích khối chóp $S.MNPQ.$ Tính tỉ số $\frac{{{V}’}}{V}.$

A. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{3}{4}.$

B. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{8}.$

C. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{2}.$

D. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{4}.$

Giải.  Ta có $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{2}.$ Chọn đáp án C.

Công thức 2: Công thức Simson (tỷ số thể tích) cho khối chóp tam giác $\frac{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{S{{A}_{1}}}{SA}.\frac{S{{B}_{1}}}{SB}.\frac{S{{C}_{1}}}{SC}.$

Công thức 3: Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy sao cho $\frac{S{{B}_{1}}}{S{{A}_{1}}}=k$ thì $\frac{{{V}_{S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}…{{B}_{n}}}}}{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}}}}={{k}^{3}}$ (đây là trường hợp đặc biệt cho hai khối đa diện đồng dạng tỷ số $k).$

Công thức 4: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}’$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho $\frac{AM}{A{A}’}=x,\frac{BN}{B{B}’}=y,\frac{CP}{C{C}’}=z$ ta có ${{V}_{ABC.MNP}}=\frac{x+y+z}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}.$

Ví dụ 1:  Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có thể tích $V.$ Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $B{B}’,C{C}’$ sao cho $\dfrac{MB}{B{B}’}=\dfrac{1}{2},\dfrac{NC}{C{C}’}=\dfrac{1}{4}.$ Thể tích của khối chóp tứ giác $A.BMNC$ là ?

A. $\dfrac{V}{3}.$

B. $\dfrac{3V}{8}.$

C. $\dfrac{V}{6}.$

D. $\dfrac{V}{4}.$

Giải. Ta có ${{V}_{A.BMNC}}=\dfrac{x+y+z}{3}V=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+0}{3}V=\dfrac{V}{4}.$ Chọn đáp án D.

Công thức 5: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $\frac{AM}{A{A}’}=X,\frac{BN}{B{B}’}=y,\frac{CP}{C{C}’}=z,\frac{DQ}{D{D}’}=t$ ta có \({V_{ABCD.MNPQ}} = \frac{{x + y + z + t}}{4}{V_{ABCD.A’B’C’D’}}\) và $x+z=y+t.$

Ví dụ 1:  Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ cạnh $2a,$ gọi $M$ là trung điểm của $B{B}’$ và $P$ thuộc cạnh $D{D}’$ sao cho $DP=\frac{1}{4}D{D}’.$ Mặt phẳng $(AMP)$ cắt $C{C}’$ tại $N.$ Thể tích khối đa diện $AMNPQBCD$ bằng

A. $2{{a}^{3}}.$

B. $3{{a}^{3}}.$

C. $\frac{11}{3}{{a}^{3}}.$

D. $\frac{9}{4}{{a}^{3}}.$

Giải.  Thể tích khối lập phương ${{V}_{0}}=8{{a}^{3}}.$ Có $x=\dfrac{AA}{A{A}’}=0,y=\dfrac{BM}{B{B}’}=\dfrac{1}{2},z=\dfrac{CN}{C{C}’},t=\dfrac{DP}{D{D}’}=\dfrac{1}{4}$ và $x+z=y+t\Leftrightarrow 0+z=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Leftrightarrow z=\frac{3}{4}.$

Khi đó ${{V}_{AMNPBCD}}=\dfrac{x+y+z+t}{4}{{V}_{0}}=\dfrac{0+\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}{4}.8{{a}^{3}}=3{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.

Công thức 6: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp  tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $\frac{SM}{SA}=x,\frac{SN}{SB}=y,\frac{SP}{SC}=z,\frac{SQ}{SD}=t$ ta có ${{V}_{S.MNPQ}}=\frac{xyzt}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right){{V}_{S.ABCD}}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}.$

Ví dụ 1:  Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích $V$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng qua $A,M,P$ cắt cạnh $SC$ tại $N$ với $M,P$ là các điểm thuộc các cạnh $SB,SD$ sao cho $\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2},\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}.$ Mặt Tính thể tích khối đa diện $ABCD.MNP.$

A. $\frac{23}{30}V.$

B. $\frac{7}{30}V.$

C. $\frac{14}{15}V.$

D. $\frac{V}{15}.$

Giải.  Ta có $x=\frac{SA}{SA}=1,y=\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2},z=\frac{SN}{SC},t=\frac{SP}{SD}=\frac{2}{3}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}\Rightarrow 1+\frac{1}{z}=2+\frac{3}{2}\Leftrightarrow z=\frac{2}{5}.$

Do đó ${{V}_{S.AMNP}}=\frac{xyzt}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right)V=\frac{7}{30}V\Rightarrow {{V}_{ABCD.MNPQ}}=\frac{23}{30}V.$ Chọn đáp án A.

Công thức 9:  Hai khối đa diện đồng dạng với tỷ số $k$ có $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}={{k}^{3}}.$

Ví dụ 1. Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi ${V}’$ là thể tích của khối tứ diện có bốn đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tứ diện $ABCD.$ Tính tỷ số $\frac{{{V}’}}{V}.$

A. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{8}{27}.$

B. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{27}.$

C. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{4}{27}.$

D. $\frac{{{V}’}}{V}=\frac{4}{9}.$

Giải.  Gọi ${A}’,{B}’,{C}’,{D}’$ lần lượt là trọng tâm các mặt $(BCD),(ACD),(ABD),(ABC);$ Ta có $\frac{{A}'{B}’}{AB}=\frac{{A}'{C}’}{AC}=\frac{{A}'{D}’}{AD}=\frac{1}{3}.$ Khối tứ diện ${A}'{B}'{C}'{D}’$ đồng dạng với khối tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\frac{1}{3}.$

Do đó  $\frac{{{V}’}}{V}={{k}^{3}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}=\frac{1}{27}.$Chọn đáp án B.