Ôn tập chương I – hệ thức lượng trong tam giác vuông – Giải bài 91 -> 99 – Sách bài tập Toán 9 tập 1
Câu 91 trang 121 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a.
a) Tính \({{\sin B + c{\rm{osB}}} \over {\sin B – c{\rm{osB}}}}.\)
b) Tính chiều cao của hình thang ABCD.
Gợi ý làm bài
a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:
\(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} = {(5a)^2} + {(12a)^2} = 169{a^2}\)
Suy ra: \(AB = \sqrt {169{a^2}} = 13a\)
Ta có: \(\sin \widehat B = {{AC} \over {AB}} = {{12a} \over {13a}} = {{12} \over {13}}\)
\(\cos \widehat B = {{BC} \over {AB}} = {{5a} \over {13a}} = {5 \over {13}}\)
Suy ra:
\({{\sin \widehat B + \cos \widehat B} \over {\sin \widehat B – \cos \widehat B}} = {{{{12} \over {13}} + {5 \over {13}}} \over {{{12} \over {13}} – {5 \over {13}}}} = {{{{17} \over {13}}} \over {{7 \over {13}}}} = {{17} \over {13}}.{{13} \over 7} = {{17} \over 7}\)
b) Kẻ \(CH \bot AB\)
Trong tam giác vuông BCH, ta có:
\(CH = CB.\sin \widehat B = 5a.{{12} \over {13}} = {{60a} \over {13}}\)
Câu 92 trang 121 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác cân ABC, AB = AC = 10cm, BC = 16cm. Trên đường cao AH lấy điểm I sao cho $AI = {1 \over 3}AH$. Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tia BI tại D.
a) Tính các góc của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tứ giác ABCD.
Gợi ý làm bài
Ta có: \(AH \bot BC\), suy ra: \(HB = HC = {{BC} \over 2} = 8\,(cm)\)
Trong tam giác vuông ABH, ta có:
\(\cos \widehat B = {{HB} \over {AB}} = {8 \over {10}} = 0,8\)
Suy ra: \(\widehat B \approx 36^\circ 52’\)
Vì ∆ABC cân nên \(\widehat B = \widehat C = 36^\circ 52’\)
Ta có:
\(\widehat A = 180^\circ – (\widehat B + \widehat C) = 180^\circ – (36^\circ 52′ + 36^\circ 52′) = 106^\circ 16’\)
b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:
\(\eqalign{
& A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \cr
& \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} – B{H^2} = {10^2} – {8^2} = 36 \cr} \)
Suy ra: AH = 6 (cm)
Ta có: \(AI = {1 \over 3}.AH = {1 \over 3}.6 = 2\,(cm)\)
Suy ra: IH = AH – AI = 6 – 2 = 4 (cm)
Vì \(IH \bot BC\) và $DC \bot BC$ nên IH // DC (1)
Mặt khác: BH = HC (gt) (2)
Từ (1) và (2) ta có IH là đường trung bình của tam giác BCD
Suy ra: \(IH = {1 \over 2}CD\) hay CD = 2IH = 2.4 = 8 (cm)
Ta có:
\({S_{ABH}} = {1 \over 2}AH.BH = {1 \over 2}.6.8 = 24\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
\({S_{AHCD}} = {{AH + CD} \over 2}.HC = {{6 + 8} \over 2}.8 = 56\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy \({S_{ABCD}} = S{ _{ABH}} + {S_{AHCD}} = 24 + 56 = 80\,\) (cm2)
Câu 93 trang 121 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC. Biết : AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) Tính sinB, sinC.
Gợi ý làm bài
a) Ta có: \(A{B^2} = {21^2} = 441\)
\(A{C^2} = {28^2} = 784\)
\(B{C^2} = {35^2} = 1225\)
Vì \(A{B^2} + A{C^2} = 441 + 784 = 1225 = B{C^2}\) nên tam giác ABC vuông tại A ( theo định lí đảo Pi-ta-go).
b) Ta có:
\(\sin \widehat B = {{AC} \over {BC}} = {{28} \over {35}} = {4 \over 5} = 0,8\)
\(\sin \widehat C = {{AB} \over {BC}} = {{21} \over {35}} = {3 \over 5} = 0,6\)
Câu 94 trang 122 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho hình thang ABCD. Biết hai đáy AB = a và CD = 2a, cạnh bên AD = a, \(\widehat A = 90^\circ \)
a) Chứng minh \(tg\widehat C = 1.\)
b) Tính tỉ số diện tích tam giác BCD và diện tích hình thang ABCD.
c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác BCD.
Gợi ý làm bài
a) Kẻ \(BH \bot CD\)
Ta có: AB // CD và \(\widehat A = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat D = 90^\circ \)
Tứ giác ABHD có ba góc vuông và AB = AD = a nên là hình vuông.
Suy ra: DH = BH = AB = a
Ta có: CD = DH + HC
Suy ra: HC = CD – DH = 2a – a = a
Vậy \(tg\widehat C = {{BH} \over {CH}} = {a \over a} = 1\)
b) Ta có: \({S_{BCD}} = {1 \over 2}BH.CD = {1 \over 2}a.2a = {a^2}\) (đvdt)
\({S_{ABCD}} = {{AB + CD} \over 2}.AD = {{a + 2a} \over 2}.a = {3 \over 2}{a^2}\) (đvdt)
Vậy \({{{S_{BCD}}} \over {{S_{ABCD}}}} = {{{a^2}} \over {{3 \over 2}{a^2}}} = {1 \over {{3 \over 2}}} = {2 \over 3}.\)
c) Ta có: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}a.a = {1 \over 2}{a^2}\) (đvdt)
Vậy \({{{S_{ABC}}} \over {{S_{BCD}}}} = {{{1 \over 2}{a^2}} \over {{a^2}}} = {1 \over 2}\)
Câu 95 trang 122 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC có góc B bằng \(120^\circ \), BC = 12cm, AB = 6cm. đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.
a) Tính độ dài đường phân giác BD.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh \(AM \bot BD.\)
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\(\widehat {ABD} = \widehat {CBD} = {{\widehat {ABC}} \over 2} = {{120^\circ } \over 2} = 60^\circ \)
Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại E.
Lại có:
\(\widehat {BAE} = \widehat {ABD} = 60^\circ \) (so le trong)
\(\widehat {CBD} = \widehat {AEB} = 60^\circ \) (đồng vị)
Suy ra tam giác ABE đều
\( \Rightarrow AB = BE = EA = 6\,(cm)\,\,(1)\)
Khi đó: CE = BC + BE = 12 + 6 = 18 (cm)
Tam giác ACE có AE // BD nên suy ra:
\(\eqalign{
& {{BC} \over {CE}} = {{BD} \over {AE}} \cr
& \Rightarrow BD = {{BC.AE} \over {CE}} = {{12.6} \over {18}} = 4\,(cm) \cr} \)
b) Ta có:
\(MB = MC = {1 \over 2}.BC = {1 \over 2}.12 = 6\,(cm)\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(BM = AB \Rightarrow \) ∆ABM cân tại B.
Tam giác cân ABM có BD là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao (tính chất tam giác cân). Vậy \(BD \bot AM\)
Câu 96 trang 121 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng DE.
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.
c) Tính diện tích tứ giác DENM.
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\(HD \bot AB \Rightarrow \widehat {ADH} = 90^\circ \)
\(HE \bot AC \Rightarrow \widehat {AEH} = 90^\circ \)
Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Suy ra: AH = DE (tính chất hình chữ nhật)
Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao.
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:
\(\eqalign{
& A{H^2} = HB.HC = 4.9 = 36 \cr
& \Rightarrow AH = 6\,(cm) \cr} \)
Vậy DE = 6 (cm)
b) * Gọi G là giao điểm của AH và DE
Ta có: GA = GD = GH = GE (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra tam giác GHD cân tại G
Ta có:
\(\widehat {GDH} = \widehat {GHD}\,(1)\)
\(\widehat {GDH} + \widehat {MDH} = 90^\circ \,(2)\)
\(\widehat {GHD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \,(3)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,(4)\)
Suy ra tam giác MDH cân tại M \( \Rightarrow MD = MH\,(5)\)
Lại có: \(\widehat {MDH} + \widehat {MDB} = 90^\circ \,(6)\)
\(\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \) (∆BDH vuong tại D) (7)
Từ (4), (6) và (7) suy ra: \(\widehat {MDB} = \widehat {MBD}\)
Suy ra tam giác MBD cân tại M \( \Rightarrow MB = MD\,(8)\)
Từ (5) và (8) suy ra: MB = MH hay M là trung điểm của BH.
*Tam giác GHE cân tại G
Ta có: \(\widehat {GHE} = \widehat {GEH}\,(9)\)
\(\widehat {GHE} + \widehat {NHE} = 90^\circ \) (10)
\(\widehat {GEH} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (11)
Từ (9), (10) và (11) suy ra: \(\widehat {NHE} = \widehat {NEH}\) (12)
Suy ra tam giác NEH cân tại n \( \Rightarrow NE = NH\) (13)
Lại có: \(\widehat {NEC} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (14)
\(\widehat {NHE} + \widehat {NCE} = 90^\circ \) (∆CEH vuông tại E) (15)
Từ (12), (14) và (15) suy ra: \(\widehat {NDC} = \widehat {NCE}\)
Suy ra tam giác NCE cân tại N \( \Rightarrow NC = NE\,(16)\)
Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.
c) Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:
\(DM = {1 \over 2}BH = {1 \over 2}.4 = 2\,(cm)\)
Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên
\(EN = {1 \over 2}CH = {1 \over 2}.9 = 4,5\,(cm)\)
Mà \(MD \bot DE\) và \NE \bot DE\) nên MD // NE
Suy ra tứ giác DENM là hình thang
Vậy
\(\eqalign{
& {S_{DENM}} = {{DM + NE} \over 2}.DE \cr
& = {{2 + 4,5} \over 2}.6 = 19,5 \cr} \) (cm2).
Câu 97 trang 121 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác ABC vuông ở A, $\widehat C = 30^\circ ,BC = 10cm.$
a) Tính AB, AC.
b) Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B.
Chứng minh:
MN // BC và MN = AB.
c) Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
Gợi ý làm bài
a) Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\(AB = BC.\sin \widehat C = 10.\sin 30^\circ = 10.{1 \over 2} = 5\,(cm)\)
\(AC = BC.\cos \widehat C = 10.\cos 30^\circ = 10.{{\sqrt 3 } \over 2} = 5\sqrt 3 \,(cm)\)
b) Ta có:
\(BM \bot BN$ (tính chất hai góc kề bù) $ \Rightarrow \widehat {MBN} = 90^\circ \,(1)\)
\(AM \bot BM\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {AMB} = 90^\circ \,(2)\)
\(AN \bot BN\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {ANB} = 90^\circ \,(3)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
Suy ra: ∆AMB = ∆NBM (c.g.c)
\(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {NMB}\)
Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {MBC}\,(gt)\)
Suy ra: \(\widehat {NMB} = \widehat {MBC}\)
Suy ra MN // BC (có cặp so le trong bằng nhau)
Vì AMBN là hình chữ nhật nên AB = MN.
c) Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat B = 90^\circ – \widehat C = 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {ABM} = {1 \over 2}\widehat B = {1 \over 2}.60^\circ = 30^\circ \)
Xét hai tam giác ABC và MAB, ta có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)
\(\widehat {ACB} = \widehat {ABM} = 30^\circ \)
Suy ra ∆ABC đồng dạng với ∆MAB (g.g)
Tỉ số đồng dạng: \(k = {{AB} \over {BC}} = {5 \over {10}} = {1 \over 2}\)
Câu 98 trang 122 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Cho tam giác AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. tính các góc \(\widehat B,\widehat C\). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. tính các góc và đường cao AH của tam giác.
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho \({S_{ABC}} = {S_{BMC}}.\)
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
\(A{B^2} = {6^2} = 36\)
\(A{C^2} = 4,{5^2} = 20,25\)
\(B{C^2} = 7,{5^2} = 56,25\)
Vì \(A{B^2} + A{C^2} = 36 + 20,25 = 56,25 = B{C^2}\) nên tam giác ABC vuông tại A ( theo định lí Pi-ta-go).
Kẻ \(AH \bot BC\)
Ta có: \(AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{6.4,5} \over {7,5}} = 3,6\,(cm)\)
\(\sin \widehat C = {{AC} \over {BC}} = {{4,5} \over {7,5}} = 0,6\)
Suy ra: \(\widehat C = 58^\circ 8’\)
Ta có:
\(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \Rightarrow B = 90^\circ – \widehat C = 90^\circ – 53^\circ 8′ = 36^\circ 52’\)
b) Tam giác ABC và tam giác MBC có chung cạnh đáy BC, đồng thời \({S_{ABC}} = {S_{MBC}}\) nên khoảng cách từ M đến BC bằng khoảng cách từ A đến BC. Vậy M thay đổi cách BC một khoảng bằng AH nên M nằm trên hai đường x và y song song với BC cách BC một khoảng bằng AH.
Câu 99 trang 122 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC. Chứng minh:
a) ∆ANL đồng dạng ∆ABC;
b) AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
Gợi ý làm bài
a) Xét hai tam giác BNA và CLA, ta có:
\(\widehat {BNA} = \widehat {CLA} = 90^\circ \)
\(\widehat A\) chung
Suy ra ∆BNA đồng dạng ∆CLA (g.g)
Suy ra: \({{AL} \over {AN}} = {{AC} \over {AB}} \Rightarrow {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\)
Xét hai tam giác ABC và ANL, ta có:
\({{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\)
\(\widehat A\) chung
Suy ra ∆ABC đồng dạng ∆ANL (c.g.c
b) ABN vuông tại N nên \(AN = AB.\cos \widehat B\,(1)\)
∆BCL vuông tại L nên \(BL = BC.\cos \widehat B\,(2)\)
∆ACM vuông tại M nên \(CM = AC.\cos \widehat C\,(3)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
\(AN.BL.CM = AB.BC.CA.\cos \widehat A\cos \widehat B\cos \widehat C.\)
Trả lời