28 . [2D1-2.6-3] Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị của hàm đạo hàm \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ và \(f\left( b \right) >  – 1\). Với các giá trị nguyên dương của tham số \(m\), số điểm cực trị nhiều nhất của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + m} \right|\) là 

DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
28 . [2D1-2.6-3] Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị của hàm đạo hàm \(f’\left( x \right)\) như hình vẽ và \(f\left( b \right) >  – 1\). Với các giá trị nguyên dương của tham số \(m\), số điểm cực trị nhiều nhất của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + m} \right|\) là 

A. \(3\).

B. \(6\).

C. \(7\).

D. \(5\).

Lời giải

Với \(m\) nguyên dương ta có 

\(g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + m} \right| = \left| {{{\left( {f\left( x \right) + 1} \right)}^2} + m – 1} \right|\)\( = {f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + m\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {f\left( x \right) + 1} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x \in R\\m – 1 \ge 0,\,\,\forall m \in {\mathbb{Z}^ + }\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {f\left( x \right) + 1} \right)^2} + m – 1 \ge 0;\,\,\)với \(\forall x \in R,\,\forall m \in {\mathbb{Z}^ + }\).

\(g’\left( x \right) = 2f\left( x \right)f’\left( x \right) + 2f’\left( x \right)\)\( \Rightarrow g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f’\left( x \right) = 0\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) =  – 1\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = b\end{array} \right.\).

Xét phương trình (2) ta có bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\):

Từ bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\) ta thấy phương trình \(f\left( x \right) =  – 1\) có nhiều nhất một nghiệm \(x = c < a\) .

Do đó phương trình \(g’\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất 3 nghiệm đơn phân biệt nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) có nhiều nhất ba cực trị.

===========