19. Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a,CD = 2a\), góc giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\)bằng \(60^\circ \), \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\); \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\). Khi thể tích khối tứ diện \(ABCD\) lớn nhất, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\). 

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
19. Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a,CD = 2a\), góc giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\)bằng \(60^\circ \), \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\); \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\). Khi thể tích khối tứ diện \(ABCD\) lớn nhất, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\). 

A. \(a\sqrt 3 \).

B. \(\frac{{3a}}{2}\).

C. \(\frac{a}{2}\).

D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Lời giải

+) Dựng hình chữ nhật \(ABCE\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \bot AD}\\{AB \bot AE}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {ADE} \right)\).

+) \(\left( {AD,BC} \right) = \left( {AD,AE} \right) = 60^\circ \) \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat {DAE} = 60^\circ }\\{\widehat {DAE} = 120^\circ }\end{array}} \right.\).

+) Ta có \({V_{ABCD}} = {V_{B.ADE}}\)\( = \frac{1}{3}AB.\frac{1}{2}AD.AE.\sin \widehat {DAE} = \frac{1}{6}a.AD.AE.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}a.AD.AE\).

+) Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB\parallel CE}\\{AB \bot \left( {ADE} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow CE \bot \left( {ADE} \right) \Rightarrow CE \bot DE\).

Suy ra tam giác \(DEC\) vuông tại \(E\), ta có \(DE = \sqrt {D{C^2} – C{E^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} – {a^2}}  = a\sqrt 3 \).

+) Ta có \(D{E^2} = A{D^2} + A{E^2} – 2AD.AE.\cos \widehat {DAE} \ge 2AD.AE\left( {1 – \cos \widehat {DAE}} \right)\)

\( \Rightarrow AD.AE \le \frac{{3{a^2}}}{{2\left( {1 – \cos \widehat {DAE}} \right)}} \le 3{a^2}\) (do \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat {DAE} = 60^\circ }\\{\widehat {DAE} = 120^\circ }\end{array}} \right.\) ;\(DE = a\sqrt 3 \) ).

Suy ra \({V_{ABCD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}a.AD.AE \le \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) .

Dấu \(” = ”\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AD = AE}\\{\widehat {DAE} = 60^\circ }\end{array}} \right.\) hay \(\Delta ADE\) đều.

+) Gọi \(H\) là trung điểm \(DE\), do \(\Delta ADE\) đều suy ra \(AH \bot DE\) mà \(CE \bot \left( {ADE} \right)\)\( \Rightarrow CE \bot AH \Rightarrow AH \bot \left( {CDE} \right)\).

+) \(d\left( {AB,DC} \right) = d\left( {AB,\left( {CDE} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {CDE} \right)} \right) = AH = a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}\) .

Vậy \(d\left( {AB,DC} \right) = \frac{{3a}}{2}\) . 

=================
CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)