[VDC Mũ – Logarit] Xét các số dương \(a,b,x,y\) thỏa mãn \(a > 1,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 2y\) thuộc tập nào dưới đây?

Câu 47.(lần 2) Xét các số dương \(a,b,x,y\) thỏa mãn \(a > 1,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} \). Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức \(P = x + 2y\) thuộc tập nào dưới đây?

A. \(\left( {1;2} \right)\).
B. \(\left[ {2;\frac{5}{2}} \right)\).
C. \(\left[ {3;4} \right)\).
D. \(\left[ {\frac{5}{2};3} \right)\).

Lời giải

Từ \({a^x} = \sqrt {ab} \Rightarrow x = {\log _a}\sqrt {ab} = \frac{1}{2} + \frac{{{{\log }_a}b}}{2}\)
Từ \({b^y} = \sqrt {ab} \Rightarrow {\log _a}{b^y} = {\log _a}\sqrt {ab} \Rightarrow y{\log _a}b = \frac{1}{2} + \frac{{{{\log }_a}b}}{2}\).
Mặt khác \(a > 1,b > 1\)suy ra \({\log _a}b > 0 \Rightarrow y = \frac{1}{{2{{\log }_a}b}} + \frac{1}{2}\).
Ta có \(P = x + 2y = \frac{1}{2} + \frac{{{{\log }_a}b}}{2} + 2\left( {\frac{1}{{2{{\log }_a}b}} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{2} + \left( {\frac{{{{\log }_a}b}}{2} + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có: \(\frac{{{{\log }_a}b}}{2} + \frac{1}{{{{\log }_a}b}} \ge 2.\sqrt {\frac{{{{\log }_a}b}}{2}.\frac{1}{{{{\log }_a}b}}} = \sqrt 2 \). Dấu “=” khi \(\frac{{{{\log }_a}b}}{2} = \frac{1}{{{{\log }_a}b}} \Rightarrow {\log _a}b = \sqrt 2 \).
Vậy giá trị nhỏ nhất \(P = \frac{3}{2} + \sqrt 2 \approx 2,91\) khi \(x = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2};y = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\).