[VDC Câu 50 L2 – 2020] Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)?

[Dạng câu 50 Toán L2 – 2020] Câu 50. Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho tồn tại số thực \(y\) thỏa mãn \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)?

A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. Vô số.

Lời giải

Ta đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\), khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\). Để hệ phương trình có nghiệm thì phải có \({\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) (hoặc rút \(x\) theo \(y\) rồi cho delta dương).

Có \({\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)nên \({9^t} \le {2.4^t} \Leftrightarrow t \le {\log _{\frac{9}{4}}}2.\)

Từ đó ta có \({x^2} + {y^2} = {4^t} \le {4^{{{\log }_{\frac{9}{4}}}2}} < 4 \Rightarrow {x^2} < 4 \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\) vì \(x\) là số nguyên. Ta có:\(x = 0\) thì dễ thấy \(y = 1\) thỏa mãn; \(x = 1\) thì dễ thấy \(y = 0\) thỏa mãn. Với \(x = - 1\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y - 1 = {3^t}\\{y^2} + 1 = {4^t}\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{3^t} + 1} \right)^2} + 1 = {4^t} \Leftrightarrow {9^t} + {2.3^t} + 2 = {4^t}.\) Phương trình trên rõ ràng vô nghiệm vì \(t \ge 0\) thì \({9^t} \ge {4^t}\) nên \(VT > VP\); \(t < 0\) thì \({3^t} > {4^t}\) nên \(VT > VP\).

Kết luận: \(x = 0;x = 1\).