Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z – 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng \(d\).

Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z – 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng \(d\).

A. \(\frac{{x – 1}}{5} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}\).

B. \(\frac{{x – 1}}{5} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}\).

C. \(\frac{{x – 1}}{5} = \frac{{y + 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}\).

D. \(\frac{{x + 1}}{5} = \frac{{y + 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({\vec n_P} = \left( {1\,;\,2\,;\,1} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\)là \({\vec u_d} = \left( {2\,;\,1\,;\,3} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = t\\z = – 2 + 3t\end{array} \right.\).

Gọi \(A\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\).

\(A \in d \Rightarrow A\left( { – 1 + 2t;t; – 2 + 3t} \right)\).

\(A \in \left( P \right)\) \( \Leftrightarrow – 1 + 2t + 2t – 2 + 3t – 4 = 0 \Leftrightarrow 7t – 7 = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

Suy ra giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(A\left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\). Ta có: \(A \in \Delta \).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \({\vec u_\Delta } = \left[ {{{\vec n}_P}\,,\,{{\vec u}_d}} \right] = \left( {5\,;\, – 1\,;\, – 3} \right)\).

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 1}}{5} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}\).

=======