📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(3; 3; 5)$, $B(1; 2; 3)$ và $C(-3; 6; 5)$. Tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$ là:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm tọa độ chân đường phân giác trong $D$ của góc $B$ trong tam giác $ABC$ thuộc hệ tọa độ $Oxyz$, ta áp dụng các phép toán vectơ trong không gian kết hợp tính chất đường phân giác:
- Bước 1: Tính độ dài hai cạnh $BA = |\vec{BA}|$ và $BC = |\vec{BC}|$ bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm $M(x_M; y_M; z_M)$ và $N(x_N; y_N; z_N)$: $MN = \sqrt{(x_N – x_M)^2 + (y_N – y_M)^2 + (z_N – z_M)^2}$.
- Bước 2: Theo tính chất đường phân giác trong tam giác $ABC$, điểm $D$ nằm giữa $A$ và $C$ thỏa mãn $\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC}$.
- Bước 3: Chuyển về đẳng thức vectơ $\vec{DA} = -\frac{BA}{BC}\vec{DC} \Leftrightarrow BC\cdot\vec{DA} + BA\cdot\vec{DC} = \vec{0}$, từ đó suy ra tọa độ điểm $D$ theo công thức: $x_D = \frac{BC\cdot x_A + BA\cdot x_C}{BA + BC}$ (tương tự cho $y_D, z_D$).
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Ta có tọa độ các vectơ $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$ lần lượt là:
$$\vec{BA} = (3 – 1; 3 – 2; 5 – 3) = (2; 1; 2) \Rightarrow BA = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$$
$$\vec{BC} = (-3 – 1; 6 – 2; 5 – 3) = (-4; 4; 2) \Rightarrow BC = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36} = 6$$
Gọi $D(x_D; y_D; z_D)$ là chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$. Theo tính chất đường phân giác trong, ta có:
$$\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$
Vì điểm $D$ nằm giữa $A$ và $C$ nên hai vectơ $\vec{DA}$ và $\vec{DC}$ ngược hướng, suy ra:
$$\vec{DA} = -\frac{1}{2}\vec{DC} \Leftrightarrow 2\vec{DA} + \vec{DC} = \vec{0}$$
Từ đó ta tính được tọa độ điểm $D$:
$$\begin{cases} x_D = \dfrac{2x_A + x_C}{3} = \dfrac{2 \cdot 3 + (-3)}{3} = 1 \\ y_D = \dfrac{2y_A + y_C}{3} = \dfrac{2 \cdot 3 + 6}{3} = 4 \\ z_D = \dfrac{2z_A + z_C}{3} = \dfrac{2 \cdot 5 + 5}{3} = 5 \end{cases}$$
Vậy tọa độ chân đường phân giác trong góc $B$ là $D(1; 4; 5)$.
👉 Chọn đáp án: B
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Hãy rèn luyện thêm các dạng toán tọa độ điểm, hình chiếu và tích vô hướng, cũng như tham khảo thêm bài toán tìm tọa độ điểm thuộc trục tọa độ trong không gian Oxyz để làm chủ chuyên đề này.
Bài tập 1: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; -2; 3)$, $B(3; 0; 1)$ và $C(2; 4; -2)$. Tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là:
Để lại phản hồi